Формула дискриминант

Цель задачи: понять формулу дискриминант и как она помогает решать квадратные уравнения. 1) Что такое дискриминант - Рассмотрим квадратное уравнение вида ax^2 + bx + c = 0, где a ≠ 0. - Дискриминант D (иногда обозначают Δ) определяется как D = b^2 − 4ac. - Корни квадратного уравнения находятся по формуле: x = [-b ± sqrt(D)] / (2a). 2) Как выводится формула дискриминанта (кратко по шагам) - Начинаем с ax^2 + bx + c = 0 и делим на a (если a ≠ 0): x^2 + (b/a)x + (c/a) = 0. - Приводим к квадрату: x^2 + (b/a)x = -c/a. - Добавляем и вычитаем в левой части (b/2a)^2, чтобы выписать квадрат полного квадрата слева: (x + b/(2a))^2 = (b^2)/(4a^2) − c/a. - Приводим правую часть к общему знаменателю: (b^2 − 4ac) / (4a^2). - Из этого следует: (x + b/(2a))^2 = D / (4a^2), где D = b^2 − 4ac. - Берём корень и решаем относительно x: x = [-b ± sqrt(D)] / (2a). - Таким образом, дискриминант D = b^2 − 4ac — ключ к количеству и типу корней. 3) Значение дискриминанта и характер корней - D > 0: уравнение имеет два разных действительных корня. - D = 0: уравнение имеет один двойной действительный корень (X1 = X2 = −b/(2a)). - D < 0: уравнение имеет два комплексных сопряжённых корня (не действительные). 4) Важные замечания - Дискриминант относится только к квадратному уравнению с коэффициентами a, b, c и требует a ≠ 0. - Если a = 0, уравнение становится линейным: bx + c = 0, и его решение x = −c/b (при b ≠ 0). В этом случае дискриминант не используется. - Если b = c = 0 и a ≠ 0, уравнение имеет единственный корень x = 0 (все степени повторно не зависят от дискриминанта). 5) Примеры Пример 1. Два разных действительных корня - Уравнение: x^2 − 3x + 2 = 0. Здесь a = 1, b = −3, c = 2. - D = b^2 − 4ac = (−3)^2 − 4·1·2 = 9 − 8 = 1 > 0. - Корни: x = [3 ± sqrt(1)] / 2 ⇒ x = (3 ± 1)/2 ⇒ x = 1 и x = 2. Пример 2. Один двойной корень - Уравнение: x^2 + 4x + 4 = 0. Здесь a = 1, b = 4, c = 4. - D = 4^2 − 4·1·4 = 16 − 16 = 0. - Корень: x = −b/(2a) = −4/2 = −2. Единственный корень x = −2. Пример 3. Комплексные корни - Уравнение: x^2 + 2x + 5 = 0. Здесь a = 1, b = 2, c = 5. - D = 2^2 − 4·1·5 = 4 − 20 = −16 < 0. - Корни: x = [−2 ± sqrt(−16)] / 2 = [−2 ± 4i] / 2 = −1 ± 2i. 6) Быстрый чек-лист - Убедиться, что a ≠ 0 для квадратного уравнения. - Вычислить дискриминант D = b^2 − 4ac. - По знаку D определить характер корней и при необходимости перейти к формуле корней x = (−b ± sqrt(D)) / (2a). Если хочешь, могу привести ещё несколько примеров под твою задачу или объяснить, как дискриминант применяется в других контекстах (например, в алгебраических выражениях или в системах уравнений).