Брусок располагается на гладкой очень длинной наклонной поверхности и удерживается на месте. Угол наклона поверхности к горизонту о = 15°. Масса бруска т = 1 кг. В момент времени…
Брусок располагается на гладкой очень длинной наклонной поверхности и удерживается на месте. Угол наклона поверхности к горизонту о = 15°. Масса бруска т = 1 кг. В момент времени t = 0 с брусок отпускают и при этом к нему прикладывают силу, которая направлена вверх параллельно наклонной плоскости. Зависимость модуля силы от времени описывается формулой F = Bt, где = 0.4 H/с. Ускорение свободного падения примите равным д = 10 м/с2.
Задача: брусок массой m = 1 кг лежит на гладкой наклонной плоскости под углом θ = 15°. Сила, действующая вдоль наклона вверх, F(t) = B t, где B = 0.4 N/s. В момент t = 0 брусок отпускают (начальное состояние покоя). g = 10 м/с^2.
- Запишем силы вдоль наклона
- Весовая компонента вдоль плоскости вниз по наклону: m g sin θ.
- Внешняя сила F(t) действует вверх по наклону.
- Поскольку плоскость гладкая, сопротивления скольжению нет.
По оси вдоль наклона (положительно вверх) выполняется закон Ньютона: m a(t) = F(t) - m g sin θ.
- Подставим данные
- F(t) = B t, B = 0.4 N/s.
- m g sin θ = 1 · 10 · sin(15°). sin(15°) ≈ 0.2588, поэтому m g sin θ ≈ 2.588 N.
Следовательно, a(t) = [F(t) - m g sin θ] / m = 0.4 t - 2.588 (м/с^2).
- Интегрируем для скорости и перемещения
- Условия: начальная скорость v(0) = 0, начальное перемещение s(0) = 0.
Сначала скорость: v(t) = ∫ a(t) dt = ∫ (0.4 t - 2.588) dt = 0.2 t^2 - 2.588 t.
Перемещение: s(t) = ∫ v(t) dt = ∫ (0.2 t^2 - 2.588 t) dt = (0.2/3) t^3 - (2.588/2) t^2 = (1/15) t^3 - 1.294 t^2.
- Физическая интерпретация и численные значения
Точка равномерности сил: момент, когда F(t) становится равной mg sin θ (направление ускорения меняется с отрицательного на положительное): t1 = (m g sin θ) / B ≈ 2.588 / 0.4 ≈ 6.47 с. До t1 ускорение отрицательное (брусок движется вниз по наклону).
Время, когда скорость становится нулевой повторно (после отпускания): v(t) = 0 даёт v(t) = 0.2 t^2 - 2.588 t = t(0.2 t - 2.588) = 0 → t2 = 2.588 / 0.2 ≈ 12.94 с. Для 0 < t < 12.94 с скорость отрицательная (движение вниз), после t > 12.94 с — вверх.
Нормальная сила N на гладкой плоскости: N = m g cos θ ≈ 1 · 10 · cos(15°) ≈ 9.66 Н (для полноты картины).
Варианты чисел (при необходимости):
- a(t) = 0.4 t - 2.588 м/с^2.
- v(t) = 0.2 t^2 - 2.588 t м/с.
- s(t) = (1/15) t^3 - 1.294 t^2 м.
- t1 ≈ 6.47 с, t2 ≈ 12.94 с.
Кратко:
- С самого начала брусок движется вниз по наклону, так как F(0) = 0 < m g sin θ.
- С увеличением времени сила F(t) растет, и в момент t1 ≈ 6.47 с ускорение становится вверх.
- Скорость остается направленной вниз до t2 ≈ 12.94 с, после чего начинается движение вверх по наклону.
