Исследуйте функцию f(x)=х⁴-2x²+2 и постройте ее график.

Решение и построение графика функции f(x) = x^4 − 2x^2 + 2 Цель: понять поведение функции и наглядно изобразить график. 1) Простейшее представление функции - f(x) можно вынести в квадрат: f(x) = (x^2 − 1)^2 + 1. - Это выражение явно неотрицательно и минимально равно 1, когда x^2 − 1 = 0, то есть при x = ±1. - Значение в нуле: f(0) = 2. Значение при больших |x| растёт: f(x) → ∞ при |x| → ∞. - Функция чётко чётная: f(−x) = f(x). График симметричен относительно оси y. 2) Производная и тип точек экстремума - Найдём производную: f′(x) = 4x^3 − 4x = 4x(x^2 − 1). - Точки критические: f′(x) = 0 при x ∈ {−1, 0, 1}. - Вторая производная: f′′(x) = 12x^2 − 4. - x = −1: f′′(−1) = 8 > 0 → локальный минимум. - x = 0: f′′(0) = −4 < 0 → локальный максимум. - x = 1: f′′(1) = 8 > 0 → локальный минимум. 3) Значения в критических точках и характер - f(−1) = (1 − 1)^2 + 1 = 1 - f(0) = 2 - f(1) = 1 Итак, функция имеет два локальных min при x = ±1 с координатами (−1, 1) и (1, 1), и один локальный max в (0, 2). По краям график идёт вверх. 4) Область возрастания/убывания - На промежутках: - (−∞, −1): f′(x) < 0 → убывает - (−1, 0): f′(x) > 0 → возрастает - (0, 1): f′(x) < 0 → убывает - (1, ∞): f′(x) > 0 → возрастает 5) Диапазон и некоторые значения для чертежа - Диапазон: [1, ∞). - Примеры точек для наброска графика (положим симметрию): - x = 0 → f = 2 - x = ±1 → f = 1 - x = ±2 → f(2) = 2^4 − 2·2^2 + 2 = 16 − 8 + 2 = 10 - x = ±3 → f(3) = 3^4 − 2·3^2 + 2 = 81 − 18 + 2 = 65 6) Как нарисовать график (инструкция) - Нарисуйте оси x и y. - Поставьте опорные точки: (−1, 1), (0, 2), (1, 1). Также отметьте (−2, 10) и (2, 10) для формы. - Отметьте, что график симметричен относительно оси y и при x → ±∞ идёт вверх. - Соедините точки плавной "W"-образной кривой: спускается с больших отрицательных x к минимуму в x = −1, поднимается к максимуму в x = 0, затем убывает до минимума в x = 1 и снова возрастает. - Убедитесь, что график не пересекает ось Ox (минимум 1 > 0). Итог - Функция f(x) = x^4 − 2x^2 + 2 имеет глобальный минимум 1 в точках x = ±1. - График представляет собой симметричную по оси Y «W»-образную кривую с минимальными точками в (−1, 1) и (1, 1) и максимальной точкой в (0, 2). - Значение фукции всегда не меньше 1, т.к. f(x) = (x^2 − 1)^2 + 1. Если хочешь, могу вывести таблицу значений на более широком диапазоне или сгенерировать точный чертёж к Desmos/GeoGebra и приложить готовый график.