Исследуйте функцию f(x)=х⁴-2x²+2 и постройте ее график.

Решение и построение графика функции f(x) = x^4 − 2x^2 + 2

Цель: понять поведение функции и наглядно изобразить график.

1. Простейшее представление функции

• f(x) можно вынести в квадрат: f(x) = (x^2 − 1)^2 + 1.
• Это выражение явно неотрицательно и минимально равно 1, когда x^2 − 1 = 0, то есть при x = ±1.
• Значение в нуле: f(0) = 2. Значение при больших |x| растёт: f(x) → ∞ при |x| → ∞.
• Функция чётко чётная: f(−x) = f(x). График симметричен относительно оси y.

2. Производная и тип точек экстремума

• Найдём производную: f′(x) = 4x^3 − 4x = 4x(x^2 − 1).
• Точки критические: f′(x) = 0 при x ∈ {−1, 0, 1}.
• Вторая производная: f′′(x) = 12x^2 − 4.
  • x = −1: f′′(−1) = 8 > 0 → локальный минимум.
  • x = 0: f′′(0) = −4 < 0 → локальный максимум.
  • x = 1: f′′(1) = 8 > 0 → локальный минимум.

3. Значения в критических точках и характер

• f(−1) = (1 − 1)^2 + 1 = 1
• f(0) = 2
• f(1) = 1

Итак, функция имеет два локальных min при x = ±1 с координатами (−1, 1) и (1, 1), и один локальный max в (0, 2). По краям график идёт вверх.

4. Область возрастания/убывания

• На промежутках:
  • (−∞, −1): f′(x) < 0 → убывает
  • (−1, 0): f′(x) > 0 → возрастает
  • (0, 1): f′(x) < 0 → убывает
  • (1, ∞): f′(x) > 0 → возрастает

5. Диапазон и некоторые значения для чертежа

• Диапазон: [1, ∞).
• Примеры точек для наброска графика (положим симметрию):
  • x = 0 → f = 2
  • x = ±1 → f = 1
  • x = ±2 → f(2) = 2^4 − 2·2^2 + 2 = 16 − 8 + 2 = 10
  • x = ±3 → f(3) = 3^4 − 2·3^2 + 2 = 81 − 18 + 2 = 65

6. Как нарисовать график (инструкция)

• Нарисуйте оси x и y.
• Поставьте опорные точки: (−1, 1), (0, 2), (1, 1). Также отметьте (−2, 10) и (2, 10) для формы.
• Отметьте, что график симметричен относительно оси y и при x → ±∞ идёт вверх.
• Соедините точки плавной "W"-образной кривой: спускается с больших отрицательных x к минимуму в x = −1, поднимается к максимуму в x = 0, затем убывает до минимума в x = 1 и снова возрастает.
• Убедитесь, что график не пересекает ось Ox (минимум 1 > 0).

Итог

• Функция f(x) = x^4 − 2x^2 + 2 имеет глобальный минимум 1 в точках x = ±1.
• График представляет собой симметричную по оси Y «W»-образную кривую с минимальными точками в (−1, 1) и (1, 1) и максимальной точкой в (0, 2).
• Значение фукции всегда не меньше 1, т.к. f(x) = (x^2 − 1)^2 + 1.

Если хочешь, могу вывести таблицу значений на более широком диапазоне или сгенерировать точный чертёж к Desmos/GeoGebra и приложить готовый график.