Юрий сконструировал бицилиндрический сосуд. Он склеил донца двух цилиндрических сосудов разной высоты (H1 = 36 см, H2 = 26 см) и разной площади дна (S1 = 16 см^2 и S2 = 15 см^2) и…
Юрий сконструировал бицилиндрический сосуд. Он склеил донца двух цилиндрических сосудов разной высоты (H1 = 36 см, H2 = 26 см) и разной площади дна (S1 = 16 см^2 и S2 = 15 см^2) и начал наливать воду во внутренний сосуд. Расход воды равен 3 л/мин. Оказалось, что на середине высоты внутреннего цилиндрического сосуда имеется небольшое отверстие (H=20 см). Ускорение свободного падения g = 10 м/с^2. Плотность воды 1 г/см^3. Примечание: объем цилиндра V = S * H, где S — площадь основания цилиндра, H — высота цилиндра. Через какой промежуток времени от начала наливания воды она начнет переливаться через край внешнего цилиндра? Ответ выразите в секундах, округлите до десятых.
Ключевые данные и допущения
- Внешний цилиндр (наружный сосуд): высота H1 = 36 см, площадь основания S1 = 16 см²
- Внутренний цилиндр (в который наливают воду): высота H2 = 26 см, площадь основания S2 = 15 см²
- Ток воды: 3 л/мин = 3000 см³/мин = 50 см³/с
- Через отверстие во внутреннем цилиндре при высоте воды H = 20 см начинается переток воды во внешний цилиндр
- Образование единой вертикальной жидкости в обеих частях происходит до тех пор, пока достигается соответствующая высота.
Обозначения
- S_in = площадь основания внутреннего цилиндра = 15 см²
- S_out = площадь основания внешнего цилиндра = 16 см²
- H_in = высота внутреннего цилиндра = 26 см
- H_out = высота внешнего цилиндра = 36 см
- h — общая высота воды в обоих цилиндрах после открытия отверстия (до тех пор, пока внутр. цилиндр не заполнится)
Пошаговое решение
- До высоты 20 см в внутреннем цилиндре вода накапливается без перетоков во внешний:
- Внутренний объём при высоте h = 20: V1 = S_in × 20 = 15 × 20 = 300 см³
- Время заполнения до этой высоты: t1 = V1 / q = 300 / 50 = 6 секунд
- После открытия отверстия вода заливается и во внешний цилиндр, высоты в обоих цилиндрах стремятся быть равными (до тех пор, пока внутренний не заполнится):
- На этапе 2 высота воды растёт вместе в обоих цилиндрах: h изменяется от 20 до 26 см.
- Совместная площадка: S_in + S_out = 15 + 16 = 31 см²
- Скорость роста высоты: dh/dt = q / (S_in + S_out) = 50 / 31 см/с
- Прирост высоты: Δh = 26 − 20 = 6 см
- Время этапа 2: t2 = Δh / (dh/dt) = 6 × 31 / 50 = 186/50 = 3.72 секунд
- После того как внутренний цилиндр заполнен (до высоты 26 см), дальнейшее увеличение высоты идёт только во внешнем цилиндре:
- Теперь общий объём даёт изменение только во внешнем цилиндре: V = S_in × H_in + S_out × h
- Скорость роста высоты во внешнем цилиндре: dh/dt = q / S_out = 50 / 16 = 3.125 см/с
- Прирост высоты после заполнения внутреннего: Δh = H_out − H_in = 36 − 26 = 10 см
- Время этапа 3: t3 = Δh / (dh/dt) = 10 × 16 / 50 = 160/50 = 3.20 секунд
- Общее время до переливания через край внешнего цилиндра
- t = t1 + t2 + t3 = 6.00 + 3.72 + 3.20 = 12.92 секунд
- Округляем до десятых: 12.9 секунд
Ответ: примерно 12.9 секунд.
Замечание
- Если трактовать внутренний и внешний цилиндры наоборот (например, inner = S1 = 16 см², outer = S2 = 15 см²), ответ будет примерно 13.1 секунд. В условии же принято считать, что внутренний цилиндр имеет площадь основания 15 см² (S2) и высоту 26 см (H2).
