Ниже приведены формальные записи через кванторы для утверждения, что точка M является серединой отрезка AB. Введём необходимые предикаты:
- Col(A,B,M): точки A, B, M лежат на одной прямой (коллинеарны).
- d(P,Q): расстояние между точками P и Q.
1) Простой способ (для фиксированных A, B, M):
M является серединой отрезка AB тогда и только тогда, когда A, B, M коллинеарны и AM = MB:
Col(A,B,M) ∧ d(A,M) = d(M,B).
2) Полная форма через кванторы (определение предиката Midpoint):
Midpoint(A,B,M) ≡ Col(A,B,M) ∧ d(A,M) = d(M,B).
Затем можно зафиксировать семантику Midpoint через кванторы:
∀A ∀B ∀M [ Midpoint(A,B,M) ↔ (Col(A,B,M) ∧ d(A,M) = d(M,B)) ].
3) Альтернатива без введения предиката Midpoint (для конкретного утверждения):
Col(A,B,M) ∧ d(A,M) = d(M,B).
4) Эквивалент в координатной форме (для наглядности):
Если A=(x_A, y_A), B=(x_B, y_B), M=(x_M, y_M), то M есть середина AB тогда:
x_M = (x_A + x_B)/2 и y_M = (y_A + y_B)/2.
В кванторной форме по компонентам это можно записать аналогично как условие над координатами, но чаще используют геометрическую запись Col и d.
Итого:
- Утверждение “M является серединой AB” может быть записано как Col(A,B,M) ∧ d(A,M) = d(M,B).
- Вариант с кванторами над тройками точек: ∀A ∀B ∀M [ Midpoint(A,B,M) ↔ (Col(A,B,M) ∧ d(A,M) = d(M,B)) ].
