Задача 1.
Даны основания трапеции: верхнее a = 4 см, нижнее b = 10 см. Средняя линия EF имеет длину m = (a + b)/2 = (4 + 10)/2 = 7 см.
Обозначим трапецию ABCD так, чтобы AB ∥ CD, AB = a = 4, CD = b = 10. Диагональ AC пересекает среднюю линию EF в точке P. Пусть E — середина AD, F — середина BC.
Пусть координатно:
- A = (0, 0), B = (a, 0) = (4, 0),
- D = (t, h), C = (t + b, h) = (t + 10, h).
Тогда:
- E — середина AD: E = (t/2, h/2),
- F — середина BC: F = ((a + t + b)/2, h/2) = (t/2 + m, h/2), где m = 7.
Диагональ AC идёт от A(0,0) к C(t+10, h). Её точка пересечения с EF найдётся при y = h/2, т.е. на параметре t = 1/2: P = A + 1/2*(C − A) = ((t+10)/2, h/2).
Длины участков на EF:
- EP = xP − xE = (t+10)/2 − t/2 = 10/2 = 5 см.
- PF = xF − xP = (t/2 + m) − (t+10)/2 = m − 10/2 = 7 − 5 = 2 см.
Слева EP = 5 см, справа PF = 2 см. Большой из них равен 5 см.
Ответ: 5 см.
Дополнительная заметка: в общем случае, если AB = a, CD = b (a ≤ b), то на средней линии участки, получаемые диагональю AC, имеют длины EP = b/2 и PF = a/2, поэтому больший из них равен b/2.
Задача 2.
В равнобедренной трапеции два угла относятся как 1:2. В равнобедренной трапеции соседние углы на одной стороне — соммируемые: сумма двух смежных углов на одной боковой стороне равна 180°. Пусть меньший угол равен x, больший — 2x. Тогда x + 2x = 180°, откуда 3x = 180°, x = 60°. Меньший угол — 60°.
Ответ: 60°.
