В треугольнике АВС известно, что АВ=ВС=20, внешний угол при вершине С равен 150°. Найдите длину медианы ВК.

Задача: В треугольнике ABC AB = BC = 20, внешний угол при вершине C равен 150°. Найдите длину медианы BK, где K — середина AC.

Решение

1. Найдем внутренний угол при C.

• внешний угол и внутренний угол являются соседними при вершине C и образуют линейное углы: внешний угол = 180° − внутренний угол.
• дано внешний угол = 150°, значит внутренний угол ∠C = 180° − 150° = 30°.

2. Определим остальные углы.

• AB = BC = 20, значит треугольник равнобедренный в вершине B: стороны, выходящие из B, равны.
• Пусть ∠A = α. По закону синусов: AB / sin ∠C = BC / sin ∠A 20 / sin 30° = 20 / sin α 1/0.5 = 1/sin α → sin α = 1/2.
• Возможны α = 30° или α = 150°, но сумма углов должна быть 180°, и ∠C = 30°. Поэтому ∠A = 30°.
• Тогда ∠B = 180° − (∠A + ∠C) = 180° − (30° + 30°) = 120°.

3. Найдём длину стороны AC.

• По тем же соотношениям: AC / sin ∠B = AB / sin ∠C.
• AC / sin 120° = 20 / sin 30° = 20 / 0.5 = 40.
• sin 120° = sin 60° = √3/2, значит AC = 40 · (√3/2) = 20√3.

4. Медиана BK к стороне AC.

• Обозначим стороны треугольника так: a = BC, b = CA, c = AB. a = 20, b = AC = 20√3, c = 20.
• Формула Фалеса (Апполония) для длины медианы к стороне b: m_b^2 = (2a^2 + 2c^2 − b^2) / 4.
• Подставим значения: 2a^2 = 2·20^2 = 800 2c^2 = 2·20^2 = 800 b^2 = (20√3)^2 = 400·3 = 1200 m_b^2 = (800 + 800 − 1200) / 4 = 400 / 4 = 100 m_b = √100 = 10.

Ответ: BK = 10.