Задание 1. Космический корабль массой m=15 т двигается с постоянной скоростью v=200 м/с в глубоком космосе далеко от любых объектов. В момент времени t=0 у него включается…
Задание 1. Космический корабль массой m=15 т двигается с постоянной скоростью v=200 м/с в глубоком космосе далеко от любых объектов. В момент времени t=0 у него включается двигатель, который создаёт постоянную силу тяги F=105 кН. Двигатель установлен таким образом, что сила тяги направлена под постоянным углом α=60∘ к фюзеляжу (корпусу) корабля. Корабль движется таким образом, что вектор его скорости всегда остается направленным вдоль фюзеляжа. С каким ускорением будет двигаться корабль сразу после включения двигателя? Ответ выразите в м/с2, округлите до целых. Определите значение его скорости через Δt=10 c после включения двигателя. Ответ выразите в м/с, округлите до десятых. Определите радиус кривизны траектории через Δt=10 c после включения двигателя. Ответ выразите в километрах, округлите до десятых.
Идет задача на движение космического корабля с постоянной тягой, угол между тягой и фюзеляжем задан как α = 60°. Вектор скорости всегда направлен вдоль фюзеляжа.
Данные:
- Масса m = 15 т = 15000 кг
- Сила тяги F = 105 кН = 105000 Н
- Угол α = 60°
- Начальная скорость v0 = 200 м/с
- Через Δt = 10 с
- Разложим ускорение на продольную (по скорости) и поперечную компоненты
- Продольное ускорение (изменение скорости вдоль фюзеляжа): a_t = F cos α / m = 105000 · cos 60° / 15000 = 105000 · 0.5 / 15000 = 52500 / 15000 = 3.5 м/с²
- Поперечное ускорение (изменение направления движения): a_n = F sin α / m = 105000 · sin 60° / 15000 sin 60° = √3/2 ≈ 0.8660254 a_n ≈ 105000 · 0.8660254 / 15000 ≈ 90932.667 / 15000 ≈ 6.062 м/с²
- Мгновенное ускорение (модуль вектора ускорения)
- Модуль a = sqrt(a_t² + a_n²) a = sqrt(3.5² + 6.062²) ≈ sqrt(12.25 + 36.75) ≈ sqrt(49) ≈ 7.0 м/с² Ответ: ускорение сразу после включения двигателя равно примерно 7 м/с². (Это равно F/m, как и положено, так как сумма компонент даёт полный вектор ускорения.)
- Скорость через Δt = 10 с
- Продольная скорость растёт по закону dv/dt = a_t, поэтому v(10) = v0 + a_t Δt = 200 + 3.5 · 10 = 235 м/с
- Ответ (до десятых): 235.0 м/с
- Радиус кривизны траектории через Δt = 10 с
- Радиус кривизны в данный момент определяется как R = v² / a_n R = 235² / 6.0621778 ≈ 55225 / 6.0621778 ≈ 9109–9110 м В км: ≈ 9.11 км
- Округление до десятых: 9.1 км
Итого:
- Мгновенное ускорение сразу после включения: ≈ 7 м/с²
- Скорость через 10 с: ≈ 235.0 м/с
- Радиус кривизны траектории через 10 с: ≈ 9.1 км
Примечание: при условии, что угол между тягой и фюзеляжем остается постоянным и вектор скорости всегда направлен вдоль фюзеляжа, продольное ускорение остается постоянным (3.5 м/с²), а поперечное ускорение — постоянным (≈6.062 м/с²), поэтому скорость и радиус кривизны вычисляются по установленным формулам.
