Теорема пифагора

Вот базовое и полезное для экзамена описание теоремы Пифагора и связанные идеи.

Что утверждает теорема Пифагора

• В любом прямоугольном треугольнике с катетами a и b и гипотенузой c выполняется: a^2 + b^2 = c^2
• Обратная теорема: если для треугольника стороны a, b, c удовлетворяют a^2 + b^2 = c^2, то треугольник прямоугольный (угол между сторонами a и b — 90°).

Некоторые способы увидеть доказательство

• Геометрическое доказательство (квадраты на сторонах): площадь квадрата на гипотенузе равна сумме площадей квадратов на катетах.
• Доказательство через подобие треугольников: в прямоугольном треугольнике, опустив высоту на гипотенуузу, получаются треугольники-близнецы, и из их подобия следует a^2 + b^2 = c^2.
• Координатное доказательство: поместим треугольник так, чтобы один угол совпал с началом координат, катеты лежат на осях: точки (0,0), (a,0), (0,b). Расстояние между (a,0) и (0,b) равно sqrt(a^2 + b^2), то есть гипотенуза c удовлетворяет c^2 = a^2 + b^2.
• Векторное обобщение: если векторы u и v перпендикулярны, то ||u+v||^2 = ||u||^2 + ||v||^2.

Использование и примеры

• Расстояние между двумя точками: расстояние между (x1,y1) и (x2,y2) равно sqrt((x2−x1)^2 + (y2−y1)^2).
• Примеры:
  • 3-4-5: 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2, значит c = 5.
  • 5-12-13: 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2, значит c = 13.
  • Если дано a и c, можно найти b: b = sqrt(c^2 − a^2) (при условии, что треугольник прямой).

Обобщения и связь с другими идеями

• В пространстве n измерений: если вам даны векторы, образующие прямой угол, то сумма квадратов их длин равна квадрату длины суммы.
• Связь с законом косинусов: c^2 = a^2 + b^2 − 2ab cos C. При C = 90° cos C = 0, возвращается a^2 + b^2 = c^2.
• Применение: геометрия, навигация, компьютерная графика, вычисление расстояний, дизайн.

Коротко к задачам

• Задано a и b — найдите c: c = sqrt(a^2 + b^2).
• Задано c и a — найдите b: b = sqrt(c^2 − a^2), если c ≥ a.
• Задано три стороны, нужно проверить, лежит ли треугольник на прямой угол: проверить, удовлетворяют ли стороны a^2 + b^2 = c^2 (где c — наибольшая сторона).

Если хотите, могу привести конкретное решение задачи по вашим данным или подготовить пару задач на тему теоремы Пифагора с разбором.