В прямоугольном треугольнике с катетом 9√5 длина высоты, проведенной к гипотенузе, равна 18. Найдите длину гипотенузы

Задача: в прямоугольном треугольнике один катет a = 9√5, высота h к гипотенузе равна 18. Найти гипотенузу c.

Пошаговое решение:

1. Обозначим катеты a = 9√5 и b, гипотенузу c, высоту к гипотенузе h = 18.
2. В прямоугольном треугольнике высота к гипотенузе равна h = (a·b)/c. Значит ab = ch.
3. Выразим b через c: b = (c h)/a.
4. По третьему кругу Пифагора: c^2 = a^2 + b^2. Подставим b: c^2 = a^2 + (c^2 h^2)/a^2. Умножим на a^2: a^2 c^2 = a^4 + h^2 c^2. Приведём подобные: (a^2 − h^2) c^2 = a^4. Отсюaдь c^2 = a^4 / (a^2 − h^2).
5. Подставим показатели: a^2 = (9√5)^2 = 405, h^2 = 18^2 = 324. Тогда a^2 − h^2 = 81. c^2 = 405^2 / 81 = (405/9)^2 = 45^2 = 2025, значит c = 45.
6. Проверка (необязательно): b = (c h)/a = (45·18)/(9√5) = 18√5, и a^2 + b^2 = 405 + 1620 = 2025 = c^2, что согласуется.

Ответ: гипотенуза равна 45.