△ABC равнобедренный, 𝑃 𝐴 𝐵 𝐶 = 80 , 𝑃 𝐴 𝐵 𝐷 = 50 P ABC =80,P ABD =50. Найдите 𝐵 𝐷 BD.

Итак, примем обычную конфигурацию: треугольник ABC равнобедрен с AB = AC, основание BC, и D — точка на BC такая, что AD — высота к BC (в равнобедренном треугольнике высота опускается в среднюю точку основания, поэтому BD = DC).

Обозначения:

• AB = AC = a
• BD = DC = x
• BC = BD + DC = 2x
• AD = h

Дано:

• Периметр △ABC: PABC = 80 → AB + BC + CA = 2a + 2x = 80 → a + x = 40. (1)
• Периметр △ABD: PABD = 50 → AB + BD + AD = a + x + h = 50. (2)

Из свойств прямого угла в треугольнике ABD (если D — основание, AD ⟂ BC): AB^2 = AD^2 + BD^2 → a^2 = h^2 + x^2. (3)

Из (2) имеем h = 50 − (a + x). По (1) a + x = 40, значит h = 10. (4)

Теперь из (3) подставим h = 10: a^2 = x^2 + 10^2 → a^2 − x^2 = 100 → (a − x)(a + x) = 100. Здесь a + x = 40, следовательно a − x = 100 / 40 = 5/2.

Решая систему:

• a = ( (a + x) + (a − x) ) / 2 = (40 + 5/2) / 2 = 85/4 = 21.25
• x = ( (a + x) − (a − x) ) / 2 = (40 − 5/2) / 2 = 75/4 = 18.75

Ответ: BD = x = 75/4 = 18.75.