Карандаш массой m упирается своим острым концом в плоскость, наклонённую к горизонту под углом a. В этом положении карандаш удерживается с помощью нити, привязанной к его верхнему…
Карандаш массой m упирается своим острым концом в плоскость, наклонённую к горизонту под углом a. В этом положении карандаш удерживается с помощью нити, привязанной к его верхнему концу. Ось симметрии карандаша перпендикулярна плоскости, а сама нить располагается параллельно наклонной плоскости. Коэффициент трения острого конца карандаша о плоскость равен мю. Ускорение свободного падения g = 10 м/с².Масса карандаша m=50 г, угол наклона плоскости а = 60°, карандаш не проскальзывает. Определите силу нормальной реакции между карандашом и плоскостью. Ответ выразите в ньютонах, округлите до сотых.
Решение задачи по шагам (статическая устойчивость карандаша/прутка, упирающегося в наклонную плоскость, с нитью вдоль плоскости).
Данные:
- масса m = 50 г = 0.05 кг
- угол наклона α = 60°
- ускорение свободного падения g = 10 м/с²
- нить тянет вдоль плоскости (параллельно наклонной)
- коэффициент трения μ дан или не дан явно; задача просит найти нормальную реакцию N
- Разбор сил На карандаш действуют:
- сила тяжести mg вниз
- нормальная реакция N от плоскости, перпендикулярна плоскости
- сила трения f вдоль поверхности плоскости (направлена так, чтобы препятствовать скольжению)
- сила от нитки F, приложенная к верхнему концу и направленная вдоль плоскости (вверх по плоскости)
Перпендикулярно плоскости Сумма сил вдоль нормали к плоскости равна нулю: N = mg cos α Подстановка: m = 0.05 кг, g = 10, cos 60° = 0.5 N = 0.05 × 10 × 0.5 = 0.25 Н
Momenta (вращение) относительно точки контакта Пусть длина карандаша L. Вращение вокруг точки контакта:
- момент силы тяжести: τ_g = (L/2) · mg · sin α (центр массы на расстоянии L/2 от точки контакта, угол между вектором r (направление нормали к плоскости) и mg даёт sin α)
- момент силы от нитки: τ_F = L · F (так как r ⟂ F, и F направлена вдоль плоскости)
Уравновешиваем моменты: τ_F = τ_g → L F = (L/2) mg sin α → F = (mg sin α)/2
- Баланс по касательной к плоскости (вдоль плоскости) Компонента тяжести вдоль плоскости: mg sin α «сдвигает» карандаш вниз по плоскости. Сила от нитки F действует вверх по плоскости. В равновесии: F + f = mg sin α где f — сила трения (направлена вверх по плоскости в нашем случае, чтобы совместно с F уравновесить mg sin α)
Из F = (mg sin α)/2 получаем: f = mg sin α − F = mg sin α − (mg sin α)/2 = (mg sin α)/2
- Условие без проскальзывания Чтобы фрикционное предложение могло удержать карандаш, выполняется: |f| ≤ μ N Подстановка полученных выражений: (mg sin α)/2 ≤ μ (mg cos α) μ ≥ (tan α)/2
Для α = 60°: tan 60° = √3 ≈ 1.732, поэтому μ_min ≈ 1.732/2 ≈ 0.866.
- Ответ по нормальной реакции N = mg cos α = 0.25 Н (округление до сотых: 0.25 Н)
Дополнительно (для полноты картины):
- сила, которую должна приложить нитка: F = (mg sin α)/2 = 0.5 × g × m × sin 60° ≈ 0.2165 Н
- сила трения: f = (mg sin α)/2 ≈ 0.2165 Н
- условие без проскальзывания требует μ ≥ μ_min ≈ 0.866
Ответ: сила нормальной реакции между карандашом и плоскостью равна 0.25 Н.
