Для подготовки к водном Урале Полина и Василиса тестировали плавучих роботов в бассейне с прямыми дорожками. стартуя от бортика, робот должен проплыть бассейн, не переворачиваясь коснуться противоположного бортика, развернуться и полыть в обратном направлении. робот Полины проплывает длину бассейна за 60 секунд, а робот Василиса за 40 секунд. сколько раз за это время встретятся роботы, двигаясь как встречным, так и в попутном направлении точку старта за встречу, точку старта за встречу, не считайте.

Задача: два робота стартуют с одного бортика и плывут туда и обратно по прямой дорожке длиной L. Полина проплывает одну длину за 60 с, Василиса — за 40 с. Сколько раз за время их совместного плавания они встретятся (принято считать встречей, когда их позиции совпадают), не считая начального старта и не считая встречу в самой точке старта? Решение (пошагово): 1) Обозначения - L — длина бассейна. - v_P = скорость Полины = L / 60 (длина за секунду). - v_V = скорость Василисы = L / 40. 2) Время полного заплыва туда и обратно - Полина делает круг(туда и обратно) за 2L, значит за 2L / v_P = 2L / (L/60) = 120 секунд. - Василиса делает круг за 2L / v_V = 2L / (L/40) = 80 секунд. - Оба начинают в t = 0. Василиса достигнет начального бортика снова в t = 80 с, Полина вернется в начальный бортик в t = 120 с. После этих моментов движение прекращается (задача не требует учета дальше). 3) Как часто встречаются роботы Если разворачивать бассейн и считать прямолинейно движение без отражений, можно получить два типа встреч: - встречи при движении в разных направлениях (один навстречу другому) — период Δt1 = 2L / (v_P + v_V); - встречи при движении в одном направлении (один догоняет другого) — период Δt2 = 2L / |v_P − v_V|. Вычислим эти периоды: - v_P + v_V = L/60 + L/40 = L/24, значит Δt1 = 2L / (L/24) = 48 секунд. - |v_P − v_V| = |L/60 − L/40| = L/120, значит Δt2 = 2L / (L/120) = 240 секунд. 4) Применение к заданным временным рамкам - Общее время, пока оба движутся одновременно, ограничено 80 секундами (после этого Василиса уже на бортике). - Возможные встречи по формуле Δt1 = 48 с дают времени t = 48 s, t = 96 s, … Но до момента, когда Василиса еще в движении, подходят только t = 48 s (потому что 96 s уже позже 80 с). - Встреча по πόзии Δt2 = 240 с произойдет позже, чем любой из роботов завершит круг на протяжении всей задачи, поэтому в заданном окне времени она не учитывается. - Также начальная встреча в t = 0 не считается по условию задачи, а встреча в точке старта в конце времени t = 120 с тоже не считается. Проверка в конкретный момент: В t = 48 с Полина находится на расстоянии x_P = v_P · 48 = (L/60)·48 = 0.8L. Василиса в этот момент движется обратно к start и находится на x_V = L − v_V·(48−40) = L − (L/40)·8 = L − 0.2L = 0.8L. Значит они встречаются именно в точке 0.8L. 5) Ответ За время, пока оба движутся до завершения своих кругов (и не считая начального старта и встречи в точке старта в конце), они встречаются 1 раз. Итого: 1 встреча.