для подготовки к водном Урале Полина и Василиса тестировали плавучих роботов в бассейне с прямыми дорожками. стартуя от бортика, робот должен проплыть бассейн, не переворачиваясь…
Для подготовки к водном Урале Полина и Василиса тестировали плавучих роботов в бассейне с прямыми дорожками. стартуя от бортика, робот должен проплыть бассейн, не переворачиваясь коснуться противоположного бортика, развернуться и полыть в обратном направлении. робот Полины проплывает длину бассейна за 60 секунд, а робот Василиса за 40 секунд. сколько раз за это время встретятся роботы, двигаясь как встречным, так и в попутном направлении точку старта за встречу, точку старта за встречу, не считайте.
Задача: два робота стартуют с одного бортика и плывут туда и обратно по прямой дорожке длиной L. Полина проплывает одну длину за 60 с, Василиса — за 40 с. Сколько раз за время их совместного плавания они встретятся (принято считать встречей, когда их позиции совпадают), не считая начального старта и не считая встречу в самой точке старта?
Решение (пошагово):
- Обозначения
- L — длина бассейна.
- v_P = скорость Полины = L / 60 (длина за секунду).
- v_V = скорость Василисы = L / 40.
- Время полного заплыва туда и обратно
- Полина делает круг(туда и обратно) за 2L, значит за 2L / v_P = 2L / (L/60) = 120 секунд.
- Василиса делает круг за 2L / v_V = 2L / (L/40) = 80 секунд.
- Оба начинают в t = 0. Василиса достигнет начального бортика снова в t = 80 с, Полина вернется в начальный бортик в t = 120 с. После этих моментов движение прекращается (задача не требует учета дальше).
- Как часто встречаются роботы Если разворачивать бассейн и считать прямолинейно движение без отражений, можно получить два типа встреч:
- встречи при движении в разных направлениях (один навстречу другому) — период Δt1 = 2L / (v_P + v_V);
- встречи при движении в одном направлении (один догоняет другого) — период Δt2 = 2L / |v_P − v_V|.
Вычислим эти периоды:
- v_P + v_V = L/60 + L/40 = L/24, значит Δt1 = 2L / (L/24) = 48 секунд.
- |v_P − v_V| = |L/60 − L/40| = L/120, значит Δt2 = 2L / (L/120) = 240 секунд.
- Применение к заданным временным рамкам
- Общее время, пока оба движутся одновременно, ограничено 80 секундами (после этого Василиса уже на бортике).
- Возможные встречи по формуле Δt1 = 48 с дают времени t = 48 s, t = 96 s, … Но до момента, когда Василиса еще в движении, подходят только t = 48 s (потому что 96 s уже позже 80 с).
- Встреча по πόзии Δt2 = 240 с произойдет позже, чем любой из роботов завершит круг на протяжении всей задачи, поэтому в заданном окне времени она не учитывается.
- Также начальная встреча в t = 0 не считается по условию задачи, а встреча в точке старта в конце времени t = 120 с тоже не считается.
Проверка в конкретный момент: В t = 48 с Полина находится на расстоянии x_P = v_P · 48 = (L/60)·48 = 0.8L. Василиса в этот момент движется обратно к start и находится на x_V = L − v_V·(48−40) = L − (L/40)·8 = L − 0.2L = 0.8L. Значит они встречаются именно в точке 0.8L.
- Ответ За время, пока оба движутся до завершения своих кругов (и не считая начального старта и встречи в точке старта в конце), они встречаются 1 раз.
Итого: 1 встреча.
