На данной прямой AB укажите все точки S так, что AS=3BS.
Цель задачи понятна: найти все точки S на прямой AB такие, что AS = 3 BS.
Пусть AB = d (длину от A до B). Положим вдоль прямой A в начале координат, B — в точке x = d, а S — в точке x (на числовой оси).
Условие AS = 3 BS переходит в: |x - 0| = 3|x - d|, то есть |x| = 3|x - d|.
Рассмотрим случаи по расположению S на прямой AB.
S лежит между A и B: 0 ≤ x ≤ d. Тогда |x| = x, |x - d| = d - x. Уравнение: x = 3(d - x) ⇒ x = 3d - 3x ⇒ 4x = 3d ⇒ x = 3d/4. Это удовлетворяет условию (0 < 3d/4 < d). Значит, S1 находится внутри AB и AS = 3d/4, SB = d/4.
S слева от A: x ≤ 0. Тогда |x| = -x, |x - d| = d - x. Уравнение: -x = 3(d - x) ⇒ -x = 3d - 3x ⇒ 2x = 3d ⇒ x = 3d/2, противоречие с x ≤ 0. Нет решений в этой области.
S справа от B: x ≥ d. Тогда |x| = x, |x - d| = x - d. Уравнение: x = 3(x - d) ⇒ x = 3x - 3d ⇒ 2x = 3d ⇒ x = 3d/2. Это удовлетворяет x ≥ d. Значит, S2 находится за пределами AB за B, и BS = x - d = 3d/2 - d = d/2, AS = x = 3d/2.
Итак, решений две:
- S1 внутри отрезка AB на расстоянии AS = 3/4 AB (то есть SB = AB/4).
- S2 за точкой B на расстоянии BS = AB/2 (то есть AS = 3/2 AB).
Можно выразить кратко: на прямой AB существует две точки S, удовлетворяющие AS = 3 BS:
- внутренняя точка, делящая AB в отношении 3:1 (AS:SB = 3:1), с AS = 3/4 AB;
- внешняя точка за B в отношении 3:1 (AS:SB = 3:1), с SB = AB/2 и AS = 3/2 AB.
