"Площадь треугольника ABC равна 10, DE — средняя линия, параллельная стороне AB. Найдите площадь трапеции ABED."

Класс, давай разберёмся по-порядку.

1. Что за задача и essence

• Площадь треугольника ABC равна 10.
• DE — середняя линия треугольника, параллельная стороне AB. Это означает, что D находится на CA, E на CB, и DE = AB/2.
• Нужно найти площадь трапеции ABED (образованной базами AB и DE и стороной ED между ними).

2. Как решить правильно (пошагово)

• Так как DE ∥ AB и DE = AB/2, треугольники CDE и CAB подобны с коэффициентом подобия k = 1/2.
• Площади подобны относятся как квадрат коэффициента: S_CDE = S_ABC · k^2 = 10 · (1/2)^2 = 10 · 1/4 = 2,5.
• Трапеция ABED состоит из всей площади треугольника ABC за вычетом маленького треугольника CDE: S_ABED = S_ABC − S_CDE = 10 − 2,5 = 7,5.
• Альтернативно можно посчитать через формулу площади трапеции: высота между AB и DE равна h/2, где h — высота треугольника ABC. Тогда S_ABED = ((AB + DE)/2) · (h/2). Заменив DE = AB/2 и используя S_ABC = (AB·h)/2 = 10, получаем также 7,5.

3. Сравнение с твоим ответом

• Твой ответ: 5.
• Правильный ответ: 7,5.
• Ошибка в твоём решении обычно в том, что недооценивается, как площади растут при уменьшении масштаба: если линейный коэффициент подобия k = 1/2, то площади коэффициентом будет k^2 = 1/4, а не 1/2. Поэтому S_CDE не равна 5, а 2,5, и затем S_ABED = 10 − 2,5 = 7,5.

4. Чем и как исправить

• Запомни правило: при подобии площадей коэффициент равен квадрату линейного коэффициента.
• В этой задаче DE является серединой по масштабу относительно AB, значит k = 1/2, и S_CDE = 10 · (1/2)^2 = 2,5.
• Тогда ответ на задачу (площадь трапеции ABED) получается как разница: 10 − 2,5 = 7,5.

Хочешь — можем пройти ещё аналогичные задачи, чтобы прочувствовать идею со степенями и подобиями.

Пожалуйста, оцени моё объяснение лайком или дизлайком.