Найти все целые значения x и y,являющиеся решениями уравнения: 14x⁴− 5y⁴ − 3x²y² + 82y² − 125x² + 51 = 0.

Решение задачи найти все целые пары (x, y), являющиеся решениями уравнения: 14x^4 − 5y^4 − 3x^2y^2 + 82y^2 − 125x^2 + 51 = 0. 1) Замена переменных Пусть a = x^2 ≥ 0 и b = y^2 ≥ 0. Тогда уравнение становится 14a^2 − 5b^2 − 3ab + 82b − 125a + 51 = 0. Это квадратичное уравнение по a: 14a^2 − (3b + 125)a + (−5b^2 + 82b + 51) = 0. 2) Дискриминант Пусть D — дискриминант по a: D = (3b + 125)^2 − 4·14·(−5b^2 + 82b + 51) = 289b^2 − 3842b + 12769 = (17b − 113)^2. Следовательно, корни по a (для фиксированного b) равны a = [ (3b + 125) ± sqrt(D) ] / (2·14) = [ (3b + 125) ± (17b − 113) ] / 28. Разделим на два случая (в зависимости от знака 17b − 113): - Case 1: 17b − 113 ≥ 0 (то есть b ≥ 7) a = (3b + 125 + 17b − 113) / 28 = (20b + 12)/28 = (5b + 3)/7, или a = (3b + 125 − (17b − 113)) / 28 = (−14b + 238)/28 = (17 − b)/2. - Case 2: 17b − 113 < 0 (то есть b ≤ 6) те же два выражения дают те же две формулы: a = (5b + 3)/7 и a = (17 − b)/2. Итого получаем две возможные формулы для a в зависимости от b: a = (5b + 3)/7 или a = (17 − b)/2, где a = x^2 ≥ 0 и b = y^2 ≥ 0. 3) Анализ каждой ветви - Ветка A: a = (5b + 3)/7 Требуется целое значение: 5b + 3 ≡ 0 (mod 7). Это даёт b ≡ 5 (mod 7). Но b = y^2 — квадрат по модулю 7. Квадраты по модулю 7 принимают значения {0, 1, 2, 4}. Число 5 не является квадратичным остатком mod 7, поэтому такая ветка не даёт решений. - Ветка B: a = (17 − b)/2 Требуется целое значение, значит 17 − b чётно, то есть b нечётно. Также a ≥ 0 требует b ≤ 17. Поскольку b = y^2, неотрицательное и нечётное квадратное число ≤ 17 возможно только b ∈ {1, 9} (1^2 и 3^2). Рассмотрим варианты: • b = 1: a = (17 − 1)/2 = 8. Но a = x^2, значит x^2 = 8 — нет целого x. • b = 9: a = (17 − 9)/2 = 4. Это допустимо: x^2 = 4, значит x = ±2. Следовательно, единственный допустимый набор значений: x^2 = 4 и y^2 = 9, то есть x = ±2 и y = ±3. 4) Проверка Подстановка a = 4, b = 9 в исходное уравнение даёт 0: 14·16 − 5·81 − 3·(4·9) + 82·9 − 125·4 + 51 = 0. 5) Ответ Все целые решения пары (x, y): x ∈ {−2, 2}, y ∈ {−3, 3}. То есть четыре решения: (−2, −3), (−2, 3), (2, −3), (2, 3).