5. log₍ˣ⁻¹₎ √(x + 2) · log₃ (x² - 2x + 1) ≥ log₉ (10 - x)1 решить неравенство из 2 части ЕГЭ
Дано неравенство: log_{x-1} √(x+2) · log_3 (x^2 - 2x + 1) ≥ log_9 (10 - x).
- Определим область определения.
- log_{x-1} √(x+2): требуется x-1 > 0 и x-1 ≠ 1 → x > 1 и x ≠ 2. Также аргумента √(x+2) требуется x+2 > 0 → x > -2 (удовлетворяется при x>1).
- log_3 (x^2 - 2x + 1) = log_3 (x-1)^2: аргумент (x-1)^2 > 0 при x ≠ 1. В сочетании с x>1 имеем x ≠ 1 автоматически.
- log_9 (10 - x): аргумент 10 - x > 0 → x < 10.
Итого область определения: 1 < x < 10, x ≠ 2.
- Упростим левую часть. log_{x-1} √(x+2) · log_3 (x-1)^2.
Используем преобразования: log_{x-1} √(x+2) = ln √(x+2) / ln(x-1), log_3 (x-1)^2 = 2 ln(x-1) / ln 3.
Произведение даёт (ln √(x+2) / ln(x-1)) · (2 ln(x-1) / ln 3) = [2 ln √(x+2)] / ln 3 = [ln(x+2)] / ln 3 = log_3 (x+2).
Следовательно неравенство эквивалентно log_3 (x+2) ≥ log_9 (10 - x).
- Преобразуем правую часть: log_9 (10 - x) = (1/2) log_3 (10 - x).
И поэтому имеет место log_3 (x+2) ≥ (1/2) log_3 (10 - x).
Так как база 3 > 1, логарифм по этой базе возрастает, значит эквивалентно log_3 ((x+2)^2) ≥ log_3 (10 - x) и следовательно (x+2)^2 ≥ 10 - x, при условии, что обе стороны определены (что удовлетворяется в нашей области: x>1 и x<10).
- Решим неравенство (x+2)^2 ≥ 10 - x x^2 + 4x + 4 ≥ 10 - x x^2 + 5x - 6 ≥ 0 (x+6)(x-1) ≥ 0.
Корни: x = -6 и x = 1. Неравенство ≥ 0 даёт x ≤ -6 или x ≥ 1.
- Совместим с областью определения: Действительная область: 1 < x < 10, x ≠ 2. Из условия x ≤ -6 невозможно попасть в эту область, значит остаются решения x ≥ 1 в заданной области, т.е. 1 < x < 10, за исключением x = 2.
Ответ: (1, 2) ∪ (2, 10).
