На плоскости провели три прямые, пересекающихся в трёх точках, и отмечены точки A и B, вне прямой Рис. 22 Сколько плоских углов с вершинами в точках пересечения прямых образовано на рисунке? Сколько из них содержат обе точки A и B?

Кратко переформулирую задачу: три прямые пересекаются по трём точкам (образуя треугольник), на рисунке стоят две произвольные точки A и B, которые не лежат на прямых. Нужно определить: 1) сколько плоскосных углов с вершинами в точках пересечения прямых образовано на рисунке (то есть сколько углов вокруг каждого из трёх пересечений). 2) сколько из этих углов содержат обе точки A и B. Разбор и решение 1. Сколько углов образовано - Любое пересечение двух прямых образует четыре прямых угла, расположенных вокруг точки пересечения. - У нас три пересечения (L1∩L2, L2∩L3, L3∩L1). На каждом таком пересечении есть 4 угла. - Всего углов: 4 угла × 3 пересечения = 12 углов. Ответ на первый вопрос: 12 углов. 2. Содержат ли оба A и B какой-либо угол - Важно понять, что точки A и B не лежат на прямых, поэтому они находятся в каких–то областях, образованных тройкой линий. Разбиение плоскости трём линиям даёт 7 областей (одна центральная треугольная область внутри трёх линий и шесть бесконечных областей вокруг). - Для конкретного угла при вершине Pi_j (пересечение Li и Lj) угол определяется тем, стороны какой прямых Li и Lj выбираются: у него есть четыре варианта, соответствующие четырём комбинациям сторон Li и Lj. - Угол при вершине Pi_j содержит точку X (X = A или B) тогда, когда X лежит на той же стороне Li, на той же стороне Lj, что и этот угол. Следовательно: Угол Pi_j содержит и A, и B тогда, когда A и B лежат на одной и той же стороне Li и на одной и той же стороне Lj. - Таким образом, число углов, содержащих обе точки A и B, равно числу пар (i, j) с i ≠ j, для которых A и B лежат на одной стороне Li и на одной стороне Lj. Пояснение по диапазону значений - Есть три пары линий: (L1,L2), (L2,L3), (L3,L1). Для каждой пары мы можем проверить, совпадают ли знаки (стороны) A и B по обеим линиям пары. - Если A и B лежат в одной и той же области разбиения плоскости, т.е. в одной и той же области, то по каждой из трёх пар прямых A и B оказываются на одной стороне обеих прямых. Тогда у трёх вершин будет ровно по одному углу, который содержит и A, и B. То есть число таких углов = 3. - Если A и B лежат в разных областях, итог может быть 0, 1, 2 или 3, в зависимости от того, совпадают ли они по сторонам относительно той же пары прямых. Максимум остаётся 3, потому что для каждой пары прямых может быть не более одного угла, содержащего обе точки. - В общем виде: число углов, содержащих и A, и B, равен количеству пар (Li, Lj), для которых A и B лежат на одной стороне Li и на одной стороне Lj. Возможны значения 0, 1, 2 или 3. Примечание по конкретному рисунку - Без самого рисунка (Рис. 22) точно определить число углов, содержащих обе точки A и B, невозможно: это зависит от того, на каких сторонах относительно каждой из трёх прямых лежат A и B. - Если хотите точный ответ для вашего изображения, пришлите фото Рис. 22 или скажите, по какой стороне каждой точки относительно каждой прямой лежат A и B. Тогда я посчитаю точно: сколько углов содержат обе точки и сколько из них имеют вершины в точках пересечения прямых. Готов дать точный ответ, если пришлёте положение A и B относительно каждой прямой (например: A слева от L1, справа от L2, и т.д., или просто координаты A и B).