1. Составьте уравнение плоскости, проходящей через три точки P(2; -1; 0), K(1; -2; 3), H(-1; 3; 3). Найти ABC через систему уравнений е ли d=1

Задача: найти уравнение плоскости через P(2, -1, 0), K(1, -2, 3), H(-1, 3, 3) при условии d = 1 в виде ax + by + cz + d = 0.

1. Поставим систему при d = 1 (ax + by + cz + 1 = 0) и подставим точки:

• Для P: 2a + (-1)b + 0·c + 1 = 0 → 2a - b = -1
• Для K: 1a + (-2)b + 3c + 1 = 0 → a - 2b + 3c = -1
• Для H: (-1)a + 3b + 3c + 1 = 0 → -a + 3b + 3c = -1

2. Решение системы:

• Из первого: b = 2a + 1
• Подставляем во второе: a - 2(2a + 1) + 3c = -1 → -3a + 3c = 1 → c = a + 1/3
• Подставляем в третье: -a + 3(2a + 1) + 3(a + 1/3) = -1 Вычисляя: -a + 6a + 3 + 3a + 1 = -1 → 8a + 4 = -1 → a = -5/8 Тогда b = 2a + 1 = -5/4 + 1 = -1/4 И c = a + 1/3 = -5/8 + 1/3 = -7/24

Итак, при d = 1:

• A = a = -5/8
• B = b = -1/4
• C = c = -7/24

Уравнение плоскости: (-5/8)x + (-1/4)y + (-7/24)z + 1 = 0. Можно привести к целочисленным коэффициентам умножением на 24: -15x - 6y - 7z + 24 = 0, или 15x + 6y + 7z - 24 = 0 (то есть d = -24 в форме ax + by + cz + d = 0).

Проверка (на всякий случай):

• Для P: (-5/8)·2 + (-1/4)(-1) + (-7/24)·0 + 1 = -10/8 + 1/4 + 1 = -1.25 + 0.25 + 1 = 0
• Для K: (-5/8)·1 + (-1/4)(-2) + (-7/24)·3 + 1 = -5/8 + 1/2 - 7/8 + 1 = 0
• Для H: (-5/8)(-1) + (-1/4)·3 + (-7/24)·3 + 1 = 5/8 - 3/4 - 7/8 + 1 = 0

Итог:

• Если требуется d = 1, получены A = -5/8, B = -1/4, C = -7/24.
• Эквивалентное целочисленное представление: 15x + 6y + 7z - 24 = 0.