доказать неравенство m²-mn+n²≥m×n
Цель: понять и доказать неравенство.
Доказательство для всех действительных m и n.
Начнем с неравенства: m^2 - mn + n^2 ≥ mn.
Перенесем mn в левую сторону: m^2 - mn + n^2 - mn ≥ 0 → m^2 - 2mn + n^2 ≥ 0.
Заметим, что левая часть равна (m - n)^2: m^2 - 2mn + n^2 = (m - n)^2.
Так как для любых действительных m и n квадрат любого числа неотрицателен, выполняется (m - n)^2 ≥ 0. Следовательно, m^2 - 2mn + n^2 ≥ 0 и исходное неравенство верно: m^2 - mn + n^2 ≥ mn.
Всякий раз, когда m = n, получается равенство: (m - n)^2 = 0 → m^2 - mn + n^2 = mn.
Итог: неравенство истинно для любых действительных m и n; равенство достигается при m = n.
Обсуждение
2 сообщениядоказать a×(a+b)≥ab
Доказательство неравенства \( a \times (a + b) \geq ab \):
Начнем с левой части неравенства: \[ a \times (a + b) \]
Раскроем скобки: \[ a^2 + ab \]
Теперь будем сравнивать: \[ a^2 + ab \geq ab \]
Если вычтем \( ab \) из обеих частей, получим: \[ a^2 \geq 0 \]
Поскольку квадрат любого действительного числа \( a \) неотрицателен, это неравенство верно для любого \( a \).
Итак, мы доказали, что: \[ a \times (a + b) \geq ab \]
Это неравенство всегда выполняется для любого действительного числа \( a \).
