F(x)=x⁷+x²

Задача: рассмотреть функцию f(x) = x^7 + x^2 и разобраться с её производной, критическими точками и характером экстремумов (это типичная задача для 11 класса по алгебре/аналитической геометрии). 1) Производная - f'(x) = d/dx (x^7) + d/dx (x^2) = 7x^6 + 2x. - Вынесем общий множитель: f'(x) = x(7x^5 + 2). 2) Критические точки Критические точки возникают там, где производная равна нулю или не существует. Здесь производная определена на всей числовой оси, поэтому решаем f'(x) = 0: - x = 0 - 7x^5 + 2 = 0 → x^5 = -2/7 → x = a, где a = -(2/7)^{1/5} ≈ -0.778. Итого, критические точки: x = 0 и x ≈ -0.778. 3) Характер критических точек (классификация) - Вторая производная: f''(x) = d/dx (7x^6 + 2x) = 42x^5 + 2. - В точке x = 0: f''(0) = 2 > 0 → локальный минимум. Значение: f(0) = 0. - В точке x = a: подставим a^5 = -2/7 → f''(a) = 42a^5 + 2 = 42(-2/7) + 2 = -12 + 2 = -10 < 0 → локальный максимум. Значение f(a) можно выразить точно через a^5: f(a) = a^7 + a^2 = a^2(a^5 + 1) = a^2( -2/7 + 1 ) = (5/7) a^2. Так как a^2 = ( (2/7)^{1/5} )^2 = (2/7)^{2/5}, получаем f(a) = (5/7) (2/7)^{2/5} ≈ 0.434. 4) Интервалы возрастания/убывания (знак производной) - f'(x) = x(7x^5 + 2). Поскольку у уравнения 7x^5 + 2 = 0 единственный корень a и 7x^5 + 2 возрастает (его производная 35x^4 ≥ 0), знак разносится по трем интервалам: - x < a (значительно отрицательные): x < 0 и 7x^5 + 2 < 0 → f'(x) > 0 → функция возрастает. - a < x < 0: x < 0 и 7x^5 + 2 > 0 → f'(x) < 0 → функция убывает. - x > 0: x > 0 и 7x^5 + 2 > 0 → f'(x) > 0 → функция возрастает. Таким образом, f возрастает на (-∞, a) и (0, ∞), убывает на (a, 0). 5) Вкратце геометрия графика - Функция не ограничена сверху или снизу: f(x) → ∞ при x → ∞ и f(x) → -∞ при x → -∞. - Есть локальный минимум в точке x = 0 с значением f(0) = 0. - Есть локальный максимум в точке x = a ≈ -0.778 с значением f(a) ≈ 0.434. - Глобальных экстремумов нет: функция стремится к ±∞ на бесконечности. Если хочешь, могу решить другую конкретную задачу по той же функции (например, найти пределы, построить набросок графика или исследовать выпуклость через f''(x)).