4х2-12ху+к2у2 решить При каком значении k является полным квадратом квадратный трёхчлен

Задача: 4x^2 - 12xy + k^2 y^2 решить: при каких k этот квадратный трехчлен является полным квадратом.

Пусть выражение равно квадрату линейного множителя: (ax + by)^2 = a^2 x^2 + 2ab xy + b^2 y^2.

Сравниваем коэффициенты:

• a^2 = 4 => a = ±2
• 2ab = -12 => ab = -6
• b^2 = k^2 => k^2 = b^2 => k = ± b

Рассмотрим варианты:

1. a = 2. Тогда ab = -6 ⇒ 2b = -6 ⇒ b = -3. Тогда k^2 = b^2 = 9 ⇒ k = ±3.

2. a = -2. Тогда ab = -6 ⇒ (-2)b = -6 ⇒ b = 3. Тогда k^2 = b^2 = 9 ⇒ k = ±3.

Оба варианта дают одно и то же значение k: k = 3 или k = -3.

Соответствующее полное квадратное выражение:

• при k = 3 или k = -3: 4x^2 - 12xy + 9y^2 = (2x - 3y)^2.

Ответ: k = 3 или k = -3.