4х^2-12ху+к^2у^2 решить При каком значении k является полным квадратом квадратный трёхчлен

Задача: при каком значении k выражение 4x^2 - 12xy + k^2 y^2 является полным квадратом (квадратом линейного выражения).

Пошаговое решение

1. Пусть квадратичное выражение равно квадрату линейного: (a x + b y)^2 = a^2 x^2 + 2ab x y + b^2 y^2.

2. По коэффициентам при x^2, xy и y^2 у нас:

• a^2 = 4 → a = ±2
• 2ab = -12 → ab = -6
• b^2 = k^2 → b = ± k

3. Рассмотрим варианты:

• Если a = 2, тогда ab = -6 даёт b = -3. Тогда b^2 = 9, значит k^2 = 9 → k = ±3.
• Если a = -2, тогда ab = -6 даёт b = 3. Тогда b^2 = 9, значит k^2 = 9 → k = ±3.

4. Вывод: k^2 должно быть равно 9, то есть k = 3 или k = -3.

Проверка: Для k^2 = 9 выражение становится 4x^2 - 12xy + 9y^2 = (2x - 3y)^2, что действительно является полным квадратом. Так что оба значения k = 3 и k = -3 подходят.