×⁴-5׳+8ײ-5×+1=0

Задача: x^4 - 5x^3 + 8x^2 - 5x + 1 = 0 Пошаговое решение 1) Замечание. Коэффициенты полинома симметричны: 1, -5, 8, -5, 1. Такой многочлен часто можно разложить в пары сопряжённых квадратов. 2) Попробуем факторизовать в виде двух квадратов с обратными корнями: Положим P(x) = (x^2 - p x + 1)(x^2 - q x + 1). Раскрывая скобки, получим: x^4 - (p+q) x^3 + (pq + 2) x^2 - (p+q) x + 1. 3) Сравним коэффициенты с данным полиномом: -p+q должно быть равно 5, то есть p + q = 5; pq + 2 должно быть равно 8, то есть pq = 6. 4) Решим систему p + q = 5 и pq = 6. Корни этой системы: p и q равны 2 и 3 (порядок не важен). 5) Получаем разложение: P(x) = (x^2 - 2x + 1)(x^2 - 3x + 1) = (x - 1)^2 (x^2 - 3x + 1). 6) Решаем каждый множитель равен нулю: - (x - 1)^2 = 0 -> x = 1 (это двойной корень). - x^2 - 3x + 1 = 0 -> x = [3 ± √(9 - 4)] / 2 = (3 ± √5)/2. 7) Ответ: - x = 1 (двойной корень); - x = (3 + √5)/2; - x = (3 - √5)/2. Проверка (быстрая): подставим x = 1 в исходное уравнение: 1 - 5 + 8 - 5 + 1 = 0, OK. Два других корня удовлетворяют x^2 - 3x + 1 = 0, значит и соответствуют исходному уравнению. Значит всегол 4 корня с учётом кратности: 1 (двойной), (3 ± √5)/2.