×⁴-5׳+8ײ-5×+1=0

Задача: x^4 - 5x^3 + 8x^2 - 5x + 1 = 0

Пошаговое решение

1. Замечание. Коэффициенты полинома симметричны: 1, -5, 8, -5, 1. Такой многочлен часто можно разложить в пары сопряжённых квадратов.

2. Попробуем факторизовать в виде двух квадратов с обратными корнями: Положим P(x) = (x^2 - p x + 1)(x^2 - q x + 1). Раскрывая скобки, получим: x^4 - (p+q) x^3 + (pq + 2) x^2 - (p+q) x + 1.

3. Сравним коэффициенты с данным полиномом: -p+q должно быть равно 5, то есть p + q = 5; pq + 2 должно быть равно 8, то есть pq = 6.

4. Решим систему p + q = 5 и pq = 6. Корни этой системы: p и q равны 2 и 3 (порядок не важен).

5. Получаем разложение: P(x) = (x^2 - 2x + 1)(x^2 - 3x + 1) = (x - 1)^2 (x^2 - 3x + 1).

6. Решаем каждый множитель равен нулю:

   • (x - 1)^2 = 0 -> x = 1 (это двойной корень).
   • x^2 - 3x + 1 = 0 -> x = [3 ± √(9 - 4)] / 2 = (3 ± √5)/2.

7. Ответ:

   • x = 1 (двойной корень);
   • x = (3 + √5)/2;
   • x = (3 - √5)/2.

Проверка (быстрая): подставим x = 1 в исходное уравнение: 1 - 5 + 8 - 5 + 1 = 0, OK. Два других корня удовлетворяют x^2 - 3x + 1 = 0, значит и соответствуют исходному уравнению. Значит всегол 4 корня с учётом кратности: 1 (двойной), (3 ± √5)/2.