Середина М стороны AD выпуклого четырехугольника ABCD равноудалена от всех его вершин. Найдите AD, если BC = 11, а углы B и C четырехугольника соответственно равны 126 градусов и…

AD = 11√2

Коротко обґрунтуем:

• М — середина AD и равноудалена от A,B,C,D, значит M — центр описанной окружности через все вершины. Следовательно A,B,C,D лежат на одной окружности, и AD является её диаметром.

• В окружности, проведённой через A и D, угол, subtending AD, равен 90°, поэтому ∠ABD = ∠ACD = 90°.

• ∠BCD = 99°, а ∠ACD = 90°, значит ∠BCA = ∠BCD − ∠ACD = 9°. Тогда ∠A в треугольнике ABC равен ∠A = 180° − (126° + 9°) = 45°.

• В треугольнике ABC сторона BC = 11 против угла ∠A = 45°. Радиус описанной окружности R треугольника ABC удовлетворяет BC = 2R sin ∠A, то есть 11 = 2R sin 45° = 2R · (√2/2) = R√2, значит R = 11/√2.

• AD — диаметр окружности, следовательно AD = 2R = 2 · (11/√2) = 11√2.