Векторы а и в коллинеарны. Коллинеар 913 ны ли векторы: а) а + 36 и а; б) - 2а и а? Ответ обоснуйте.

Задача: даны векторы a и v коллинеарны. Проверить, коллинеарны ли векторы a+v и a; и -2a и a.

Пояснение:

• Коллинеарны векторы means они лежат на одной прямой: существует скаляр t такой, что v = t a (или a = s v). В любом случае один вектор является скаля́рным умножением другого.

Решение:

1. Пусть v коллинеарен a. Тогда существует t ∈ R such that v = t a.

a) Рассмотрим вектор a + v.

• a + v = a + t a = (1 + t) a.
• Это произведение вектора a на скаляр (1 + t). Следовательно, a + v коллинеарен a (при условии, что a ≠ 0). Даже если a = 0, тогда a + v = v, и тоже коллинеарно любому вектору.
• Вывод: векторы a+v и a коллинеарны.

b) Рассмотрим вектор -2a.

• -2a очевидно равен (-2)·a, то есть является скалярным кратным a.
• Следовательно, -2a коллинеарен a.

Ответ:

• а) да, векторы a+v и a коллинеарны.
• б) да, векторы -2a и a коллинеарны.

Короткая идея: если v ∥ a, то a+v ∥ a, и любой кратный a (как -2a) тоже ∥ a.