найти наибольший общий делитель: а)108,72,96 б)15,30,47

Задача: найти наибольший общий делитель (НОД) чисел.

а) НОД(108, 72, 96)

Способ 1. Евклидов алгоритм (пошагово)

• Найдем НОД(108, 72): 108 = 72 × 1 + 36 72 = 36 × 2 + 0 НОД(108,72) = 36
• Теперь НОД(36, 96): 96 = 36 × 2 + 24 36 = 24 × 1 + 12 24 = 12 × 2 + 0 НОД(36,96) = 12

Итак, НОД(108, 72, 96) = 12.

Способ 2. Разложение на простые множители (для проверки)

• 108 = 2^2 · 3^3
• 72 = 2^3 · 3^2
• 96 = 2^5 · 3^1

Общие простые множители: 2 и 3. Минимальные степени: 2^min(2,3,5) = 2^2 = 4; 3^min(3,2,1) = 3^1 = 3. Произведение: 4 · 3 = 12.

Ответ: 12.

б) НОД(15, 30, 47)

Способ 1. Эвклид разом

• НОД(15, 30) = 15
• Затем НОД(15, 47): 47 = 15 × 3 + 2 15 = 2 × 7 + 1 2 = 1 × 2 + 0 НОД(15, 47) = 1

Итак, НОД(15, 30, 47) = 1.

Способ 2. Разложение на простые множители

• 15 = 3 · 5
• 30 = 2 · 3 · 5
• 47 — простое число, не делится на 2, 3 или 5

Общего множителя нет, кроме единицы. Значит, НОД = 1.

Ответ: 1.

Если хочешь, могу привести ещё один вид доказательства или разобрать похожие примеры.