Вершины  A A и  C C треугольника  A B C ABC лежат в плоскости  α α. Через вершину  B B, не лежащую в плоскости  α α, проведена прямая, параллельная биссектрисе  C M CM треугольника  A B C ABC. Она пересекает плоскость  α α в точке  K K. Найди длину стороны  B C BC треугольника  A B C ABC, если известно, что  A C = 5 AC=5 ,  C K = 7 CK=7. Запиши в поле ответа верное число.

Разберём задачу пошагово. 1) Установим координаты - Пусть плоскость α — плоскость z = 0. - Пусть A = (0, 0, 0) и C = (5, 0, 0), тогда AC = 5. - Поскольку B не лежит в α, возьмём B = (x2, y2, h) с h ≠ 0. 2) Введение параметра для точки M на AB - Пусть CM — биссектор угла ACB. Пусть M лежит на AB так, что AM = t · AB, где t ∈ (0, 1). Тогда M = A + t(B − A) = tB = (t x2, t y2, t h). - По бисекционной теореме в треугольнике ACB имеем AM/MB = AC/CB = 5/BC. 3) Точка K как пересечение BK с плоскостью α - Прямая BK параллельна CM и проходит через B, поэтому она имеет направление CM = M − C = (t x2 − 5, t y2, t h). - Параметрически BK задаётся как B + s(CM) = B + s(t x2 − 5, t y2, t h). - Чтобы пересечь плоскость α, нужно z = 0: h + s t h = 0 → s = −1/t. - Тогда K = B + (−1/t)(t x2 − 5, t y2, t h) = (x2 − (t x2 − 5)/t, y2 − y2, h − h) = (5/t, 0, 0). - Таким образом, CK — расстояние по плоскости α между C = (5, 0, 0) и K = (5/t, 0, 0): CK = |5/t − 5| = 5(1/t − 1). 4) По условию CK = 7 - 5(1/t − 1) = 7 → 1/t − 1 = 7/5 → 1/t = 12/5 → t = 5/12. 5) Найдём BC через AK и числo AM/MB - По определению t: AM = t·AB и MB = (1 − t)·AB, значит AM/MB = t/(1 − t) = (5/12)/(7/12) = 5/7. - По бисекционной теореме AC/CB = AM/MB. Значит 5/BC = 5/7 → BC = 7. Ответ: 7