Задача Задача №3463618
А
А
Вершины A A и C C треугольника A B C ABC лежат в плоскости α α . Через вершину B B , не лежащую в плоскости α α , проведена прямая, параллельная биссектрисе C M CM треугольника A…
Запрос пользователя
Вершины A A и C C треугольника A B C ABC лежат в плоскости α α. Через вершину B B, не лежащую в плоскости α α, проведена прямая, параллельная биссектрисе C M CM треугольника A B C ABC. Она пересекает плоскость α α в точке K K. Найди длину стороны B C BC треугольника A B C ABC, если известно, что A C = 5 AC=5 , C K = 7 CK=7. Запиши в поле ответа верное число.
Разберём задачу пошагово.
- Установим координаты
- Пусть плоскость α — плоскость z = 0.
- Пусть A = (0, 0, 0) и C = (5, 0, 0), тогда AC = 5.
- Поскольку B не лежит в α, возьмём B = (x2, y2, h) с h ≠ 0.
- Введение параметра для точки M на AB
- Пусть CM — биссектор угла ACB. Пусть M лежит на AB так, что AM = t · AB, где t ∈ (0, 1). Тогда M = A + t(B − A) = tB = (t x2, t y2, t h).
- По бисекционной теореме в треугольнике ACB имеем AM/MB = AC/CB = 5/BC.
- Точка K как пересечение BK с плоскостью α
- Прямая BK параллельна CM и проходит через B, поэтому она имеет направление CM = M − C = (t x2 − 5, t y2, t h).
- Параметрически BK задаётся как B + s(CM) = B + s(t x2 − 5, t y2, t h).
- Чтобы пересечь плоскость α, нужно z = 0: h + s t h = 0 → s = −1/t.
- Тогда K = B + (−1/t)(t x2 − 5, t y2, t h) = (x2 − (t x2 − 5)/t, y2 − y2, h − h) = (5/t, 0, 0).
- Таким образом, CK — расстояние по плоскости α между C = (5, 0, 0) и K = (5/t, 0, 0): CK = |5/t − 5| = 5(1/t − 1).
- По условию CK = 7
- 5(1/t − 1) = 7 → 1/t − 1 = 7/5 → 1/t = 12/5 → t = 5/12.
- Найдём BC через AK и числo AM/MB
- По определению t: AM = t·AB и MB = (1 − t)·AB, значит AM/MB = t/(1 − t) = (5/12)/(7/12) = 5/7.
- По бисекционной теореме AC/CB = AM/MB. Значит 5/BC = 5/7 → BC = 7.
Ответ: 7
