диагонали прямоугольника MHKP пересекаются в точке O, угол MOH равен 64° найдите угол OMP

Задача: диагонали прямоугольника MHKP пересекаются в O, угол MOH = 64°. Найдите угол OMP.

Пояснение и решение по шагам

1. Установим координаты прямоугольника

• Пусть M = (0, 0), P = (w, 0), H = (0, h), K = (w, h).
• Тогда центр O — середина диагоналей: O = (w/2, h/2).

2. Выразим угол MOH через стороны прямоугольника

• Векторы из точки O к вершинам M и H: OM = M − O = (−w/2, −h/2) OH = H − O = (−w/2, h/2)
• Косинус угла MOH вычисляется через скалярное произведение: OM · OH = (−w/2)(−w/2) + (−h/2)(h/2) = (w^2 − h^2)/4 |OM| = |OH| = sqrt((w/2)^2 + (h/2)^2) = (1/2) sqrt(w^2 + h^2) Então |OM|·|OH| = (1/4)(w^2 + h^2) следовательно cos ∠MOH = ((w^2 − h^2)/4) / ((w^2 + h^2)/4) = (w^2 − h^2)/(w^2 + h^2)

3. Связь между отношением h и w и данным углом

• Обозначим r = h/w. Тогда cos ∠MOH = (1 − r^2)/(1 + r^2).
• По условию ∠MOH = 64°, значит: (1 − r^2)/(1 + r^2) = cos 64°
• Решая относительно r: r^2 = (1 − cos 64°) / (1 + cos 64°) = tan^2(32°) Следовательно r = h/w = tan 32°.

4. Найдём интересующий угол OMP

• Угол OMP — угол между векторами MO и MP. Вектор MO направлен из M к O: MO = (w/2, h/2), а MP направлен из M к P: MP = (w, 0).
• Угол между MO и MP имеет tan-угол равный (высота) / (осевая часть) = (h/2) / (w/2) = h/w = r.
• Значит ∠OMP = arctan(h/w) = arctan(tan 32°) = 32°.

Ответ: 32°.

Замечание. В общем случае угол между диагоналями прямоугольника равен вдвое большему углу между диагональю и стороны, поэтому ∠OMP = ∠MOH / 2 = 64° / 2 = 32°.