решить по методу Гаусса 2x+4y+3z=1, x-2y+4z=3, 3x-y+5z=2

Задача решается методом Гаусса (методом прямого исключения и последующего обратного подстановки).

Дано систему: 2x + 4y + 3z = 1 x - 2y + 4z = 3 3x - y + 5z = 2

1. Запишем расширенную матрицу (коэффициенты и свободные члены): [ 2 4 3 | 1 ] [ 1 -2 4 | 3 ] [ 3 -1 5 | 2 ]

2. Чтобы удобнее работать с опорным элементом, поменяем местами 1-ю и 2-ю строки: [ 1 -2 4 | 3 ] [ 2 4 3 | 1 ] [ 3 -1 5 | 2 ]

3. Исключим переменную x из второй и третьей строк:

• R2 := R2 - 2*R1 → [0, 8, -5 | -5]
• R3 := R3 - 3*R1 → [0, 5, -7 | -7]

Текущая матрица: [ 1 -2 4 | 3 ] [ 0 8 -5 | -5 ] [ 0 5 -7 | -7 ]

4. Приведём опорный элемент во второй строке к 1: R2 := R2 / 8 → [0, 1, -5/8 | -5/8]

5. Обезопасим верхний треугольник, исключив y из остальных строк:

• R1 := R1 + 2*R2 → [1, 0, 11/4 | 7/4]
• R3 := R3 - 5*R2 → [0, 0, -31/8 | -31/8]

Теперь система в виде: [ 1 0 11/4 | 7/4 ] [ 0 1 -5/8 | -5/8 ] [ 0 0 -31/8 | -31/8 ]

6. Из последнего уравнения находим z: (-31/8) z = (-31/8) → z = 1

7. По второму уравнению находим y: y - (5/8) z = -5/8 → y - 5/8 = -5/8 → y = 0

8. По первому уравнению находим x: x + (11/4) z = 7/4 → x + 11/4 = 7/4 → x = -1

Ответ: x = -1, y = 0, z = 1

Проверка:

• 2x + 4y + 3z = 2(-1) + 0 + 3(1) = -2 + 3 = 1
• x - 2y + 4z = (-1) - 0 + 4(1) = 3
• 3x - y + 5z = 3(-1) - 0 + 5(1) = -3 + 5 = 2 Все три уравнения соблюдены.