"При подозрении на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на ПЦР-тест. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в 86% случаев. Если заболевания…

Ок, давай разберёмся как решать и почему ответ 0,43 верный.

Что дано и что найти

• Чувствительность теста: если заболевание есть, тест положительный с вероятностью 0.86.
• Специфичность теста: если заболевания нет, тест ложно-положительный с вероятностью 1 - специфичность = 0.06.
• Среди направленных на тестирование пациентов в среднем 10% дают положительный результат: P(+) = 0.10.
• Нужно найти вероятность того, что пациент действительно болен, если тест положительный: P(D|+).

Способ 1. Через P(D) и закон полной вероятности

• Обозначим p = P(D) — долю больных среди направленных на тестирование.
• По закону полной вероятности: P(+) = P(+|D)P(D) + P(+|D)P(D) = 0.86 p + 0.06 (1 - p).
• Заданная величина: P(+) = 0.10. Значит: 0.10 = 0.86 p + 0.06 - 0.06 p = 0.06 + 0.80 p 0.80 p = 0.04 p = 0.05.
• Теперь ищем P(D|+): P(D|+) = P(+|D)P(D) / P(+) = 0.86 * 0.05 / 0.10 = 0.043 / 0.10 = 0.43.

Способ 2. Проверка через разбиение на больных и здоровых (вариант с x и y)

• Пусть x — число больных, y — число здоровых среди протестированных. Всего x + y.
• Всего положительных тестов: 0.10(x + y). Из них 0.86x приходится на больных, 0.06y на здоровых.
• Уравнение: 0.1(x + y) = 0.86x + 0.06y → 0.1x + 0.1y = 0.86x + 0.06y → 0.04y = 0.76x → y = 19x.
• Тогда вероятность, что положительный тест взят у больного: (0.86x) / [0.1(x + y)] = 0.86x / [0.1(20x)] = 0.86 / 2 = 0.43.

Итого: ваш ответ 0,43 (то есть 0.43) верный.

Хочешь, объясню ещё на каком-то другом языке абстракции или приведу ещё пару примеров задач на Бейесовские расчёты? Подай лайк, если всё понятно, или скажи, что не понятно — исправлю и поясню подробнее.