решите уравнение (x-2)(x-3)(x-4)=(x-3)(x-4)(x-5)

Задача: решить уравнение (x-2)(x-3)(x-4) = (x-3)(x-4)(x-5)

Пошаговое решение:

1. Перенесём правую часть в левую и упростим факторингом: (x-2)(x-3)(x-4) - (x-3)(x-4)(x-5) = 0

2. Заметим общий множитель (x-3)(x-4) и вынесем его за скобки: (x-3)(x-4)[(x-2) - (x-5)] = 0

3. Упростим скобку внутри: (x-2) - (x-5) = x-2 - x + 5 = 3

   Значит выражение равно: 3(x-3)(x-4) = 0

4. Равенство нулю выполняется тогда, когда один из множителей равен нулю: x-3 = 0 или x-4 = 0 ⇒ x = 3 или x = 4

5. Проверка в исходном уравнении:

   • x = 3: LHS = (1)(0)(-1) = 0, RHS = (0)(-1)(-2) = 0 → верно
   • x = 4: LHS = (2)(1)(0) = 0, RHS = (1)(0)(-1) = 0 → верно

Ответ: x = 3 или x = 4. Множество решений: {3, 4}.