Что такое дискриминт

Задача: что такое дискриминант?

Коротко: дискриминант — это величина, которая показывает, сколько и какие корни имеет квадратное уравнение ax^2 + bx + c = 0, не вычисляя сами корни.

1. Формула

• Дискриминант Δ (иногда обозначают как D): Δ = b^2 − 4ac
• Здесь a ≠ 0 (уравнение истинно квадратное).

2. Как трактовать Δ

• Δ > 0: два различных действительных корня. Примеры корней: x1,2 = (−b ± √Δ) / (2a)
• Δ = 0: один корень (два совпавших корня), т. е. двойной корень. Корень: x = −b / (2a)
• Δ < 0: нет действительных корней; есть два комплексно-сопряжённых корня. Корни: x1,2 = (−b ± i√|Δ|) / (2a)

3. Примеры

• Пример 1: x^2 − 3x + 2 = 0 Δ = (−3)^2 − 4·1·2 = 9 − 8 = 1 > 0 Корни: x1,2 = (3 ± √1)/2 = (3 ± 1)/2 → x1 = 1, x2 = 2

• Пример 2: x^2 + 2x + 2 = 0 Δ = 2^2 − 4·1·2 = 4 − 8 = −4 < 0 Нет действительных корней (есть два комплексных).

• Пример 3: 2x^2 − 4x + 2 = 0 Δ = (−4)^2 − 4·2·2 = 16 − 16 = 0 Едиственный корень: x = −(−4)/(2·2) = 4/4 = 1

4. Дополнительно — связь с графиком

• Функция f(x) = ax^2 + bx + c (парабола):
  • Если Δ > 0, график пересекает ось x в двух точках.
  • Если Δ = 0, график касается оси x в одной точке (вершина лежит на оси x).
  • Если Δ < 0, график не пересекает ось x (нет действительных корней).
• Вершина параболы находится в x = −b/(2a), а значение вершины равно f(−b/(2a)) = −Δ/(4a).

5. Что делать на практике

• Если цель — понять поведение уравнения, вычисляйте Δ и по знаку Δ делайте выводы.
• Если Δ оказывается неотрицательным и является квадратом целого числа, корни рациональны; иначе — иррациональны (или комплексны при Δ < 0).

6. Важное замечание

• Дискриминант применяется именно к квадратному уравнению. Если a = 0, то уравнение уже не квадратичное, и дискриминант не используется; решают линейное bx + c = 0 (если b ≠ 0). Если и b = 0, то смотрят на c: либо уравнение тождественно истинно (бесконечно много решений), либо нет решений.