Дана функция f (x) = e2x sin х. Найти f" (0).

Задача: f(x) = e^{2x} sin x. Найти f''(0). Пошаговое решение: 1) Найдем первый производную f'(x). - Пусть u(x) = e^{2x}, v(x) = sin x. Тогда u'(x) = 2e^{2x}, v'(x) = cos x. - По правилу произведения: f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 2e^{2x} sin x + e^{2x} cos x. - Можно вынести e^{2x}: f'(x) = e^{2x} (2 sin x + cos x). 2) Найдем вторую производную f''(x). - f'(x) = e^{2x} (2 sin x + cos x). Дифференцируем снова по произведению: f''(x) = (e^{2x})' (2 sin x + cos x) + e^{2x} (2 sin x + cos x)'. - (e^{2x})' = 2e^{2x}. Производная от (2 sin x + cos x) равна 2 cos x − sin x. - Значит: f''(x) = 2e^{2x} (2 sin x + cos x) + e^{2x} (2 cos x − sin x) = e^{2x} [4 sin x + 2 cos x + 2 cos x − sin x] = e^{2x} (3 sin x + 4 cos x). 3) Найдем f''(0). - sin(0) = 0, cos(0) = 1, e^{0} = 1. - f''(0) = 1 · (3·0 + 4·1) = 4. Ответ: f''(0) = 4.