Дана функция f (x) = e2x sin х. Найти f" (0).

Задача: f(x) = e^{2x} sin x. Найти f''(0).

Пошаговое решение:

1. Найдем первый производную f'(x).

• Пусть u(x) = e^{2x}, v(x) = sin x. Тогда u'(x) = 2e^{2x}, v'(x) = cos x.
• По правилу произведения: f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) = 2e^{2x} sin x + e^{2x} cos x.
• Можно вынести e^{2x}: f'(x) = e^{2x} (2 sin x + cos x).

2. Найдем вторую производную f''(x).

• f'(x) = e^{2x} (2 sin x + cos x). Дифференцируем снова по произведению: f''(x) = (e^{2x})' (2 sin x + cos x) + e^{2x} (2 sin x + cos x)'.
• (e^{2x})' = 2e^{2x}. Производная от (2 sin x + cos x) равна 2 cos x − sin x.
• Значит: f''(x) = 2e^{2x} (2 sin x + cos x) + e^{2x} (2 cos x − sin x) = e^{2x} [4 sin x + 2 cos x + 2 cos x − sin x] = e^{2x} (3 sin x + 4 cos x).

3. Найдем f''(0).

• sin(0) = 0, cos(0) = 1, e^{0} = 1.
• f''(0) = 1 · (3·0 + 4·1) = 4.

Ответ: f''(0) = 4.