Написать уравнение касательной к графику Функции f(x)=8*х^1/4 в точке с абсциссой хо=1.

Задача: найти уравнение касательной к графику f(x) = 8 · x^(1/4) в точке с абсциссой x0 = 1.

Пошагово:

• График функции f(x) = 8 · x^(1/4) определён для x ≥ 0. В точке x0 = 1 найдём значение функции: f(1) = 8 · 1^(1/4) = 8. То есть точка касательной на графике: (1, 8).

• Найдём производную. Для x > 0 применяем правило d/dx x^n = n x^(n-1): f'(x) = 8 · (1/4) · x^(1/4 - 1) = 2 · x^(-3/4) = 2 / x^(3/4).

• Оценим производную в точке x0 = 1: f'(1) = 2 / 1^(3/4) = 2. Это наклон касательной.

• Уравнение касательной в точке (x0, f(x0)) с наклоном m = f'(x0): y − f(1) = f'(1) · (x − 1) → y − 8 = 2(x − 1). Приведём к более простому виду: y = 2x − 2 + 8 = 2x + 6.

Ответ: уравнение касательной равно y = 2x + 6.