Лог5 из9

Задача: вычислить log_5(9) (логарифм по основанию 5 числа 9).

Пошаговое решение и пояснения:

• Шаг 1. Определение. Пусть x = log_5(9). По определению логарифма это равнонайменование степени, к которой нужно возвести основание 5, чтобы получить 9: 5^x = 9.
• Шаг 2. Применение перехода к основанию 10 или e. Можно воспользоваться формулой смены основания: log_5(9) = log(9) / log(5), где log может быть любым фиксированным основанием (обычно десятичный или ln).
• Шаг 3. Численное вычисление.
  • Используя десятичные логарифмы: log10(9) ≈ 0.95424, log10(5) ≈ 0.69897. Тогда x ≈ 0.95424 / 0.69897 ≈ 1.365.
  • Или с натуральными логарифмами: ln(9) ≈ 2.19722, ln(5) ≈ 1.60944. Тогда x ≈ 2.19722 / 1.60944 ≈ 1.365.
• Шаг 4. Проверка. Чтобы проверить, можно оценить 5^1.365:
  • 1.365 · ln(5) ≈ 1.365 · 1.60944 ≈ 2.197, и e^2.197 ≈ 9.0. Значит приближённо верно.
• Шаг 5. Альтернативная запись (для наглядности): log_5(9) = ln(9) / ln(5) = (2 ln(3)) / ln(5) ≈ 1.365.
• Ответ: log_5(9) приблизительно 1.365 (точнее около 1.3652).

Коротко: log_5(9) ≈ 1.365, так как 5^1 = 5 < 9 < 25 = 5^2.