В квадрате отметили середины верхней и нижней стороны затем к ним провели отрезки. Какая часть фигуры закреплена серым?
Ответ: Закрашенная часть — центральный ромб, образованный соединением середин верхней стороны M и середины нижней стороны N с точками пересечения прямых, проведённых от этих середин к противоположным вершинам.
Основной ход решения (пошагово):
- Обозначим фигуры
- Пусть квадрат имеет сторону a. Пусть вершины квадрата A(0,a) — верхний левый, B(a,a) — верхний правый, C(a,0) — нижний правый, D(0,0) — нижний левый.
- Точки середины верхней и нижней сторон: M — середина верхней стороны AB: M(a/2, a). N — середина нижней стороны CD: N(a/2, 0).
- Проведём нужные отрезки
- Из M проведём к противоположным вершинам D и C: линии MD и MC.
- Из N проведём к противоположным вершинам A и B: линии NA и NB.
Уравнения этих прямых (через координаты):
- MD: y = 2x
- MC: y = 2a − 2x
- NA: y = −2x + a
- NB: y = 2x − a
- Найдём точки пересечения
- MD ∩ NA: 2x = −2x + a → 4x = a → x = a/4, y = 2x = a/2. Обозначим P1 = (a/4, a/2).
- MC ∩ NB: 2a − 2x = 2x − a → 4x = 3a → x = 3a/4, y = 2x − a = 3a/2 − a = a/2. Обозначим P2 = (3a/4, a/2).
Как выглядит получившаяся фигура Соединяя точки M, P2, N, P1 мы получаем четырёхугольник M − P2 − N − P1. Это параллелограмм, у которого все стороны равны, т.е. ромб. Его диагонали: MN вертикальная длиной a и P1P2 горизонтальная длиной a/2. Они пересекаются в центре квадрата.
Какую часть закрашивают Закрашенная часть — этот центральный ромб с вершинами M(a/2, a), P2(3a/4, a/2), N(a/2, 0), P1(a/4, a/2).
Площадь центрального ромба
- Диагонали: d1 = MN = a, d2 = P1P2 = a/2.
- Площадь ромба S = (d1 · d2) / 2 = a · (a/2) / 2 = a^2/4.
- Площадь всего квадрата = a^2. Значит, закрашенная часть занимает 1/4 площади квадрата.
Итого: закрашенная часть — центральный ромб, занимающий одну четверть площади квадрата. Если хотите, можно привести числовой пример при стороне a = 1: ромб имеет вершины M(0.5,1), N(0.5,0), P1(0.25,0.5), P2(0.75,0.5) и площадь 0.25.
