На основании AC треугольника ABC выбрана точка N. Оказалось что угол BNC в два раза больше угла BAC , а угол BNA в два раза больше угла BCA. Найдите длину отрезка BN, если AB=8,…

41

Обоснование (кратко):

• Так как ∠BNC = 2∠A и ∠BNA = 2∠C, а ∠CNA = 180°, имеем 2∠A + 2∠C = 180°, значит ∠B = 90°. Следовательно AB = 8 и BC = 10 — катеты прямого треугольника, AC = √(8^2+10^2) = √164.
• Поместим треугольник в координаты: B = (0,0), A = (8,0), C = (0,10). Точка N лежит на AC: N = (8(1−t), 10t), t ∈ [0,1].
• Выразим угол BNA через t и приравняем к 2C, имея cos(2C) = 9/41. После алгебры получаем уравнение 164t^2 − 128t + 23 = 0, решения t = 1/2 и t = 23/82.
• Длина BN: BN^2 = 64(1−t)^2 + 100t^2. При t = 1/2 BN^2 = 41, при t = 23/82 BN^2 тоже равно 41.
• Ответ BN^2 = 41.