Прямоугольник, длины обеих сторон которого принимают целочисленные значения, не меньшие 3, составлен из квадратов 1 х 1 (далее будем называть эти квадраты клетками). Для каждой…
Прямоугольник, длины обеих сторон которого принимают целочисленные значения, не меньшие 3, составлен из квадратов 1 х 1 (далее будем называть эти квадраты клетками). Для каждой клетки посчитали количество её соседей (соседними называются две клетки, имеющие общую сторону). Все посчитанные числа сложили и получили сумму 246. Найдите периметр прямоугольника.
Задача решается без указания конкретного предмета/класса, как задача по школьной алгебре/комбинаторике.
Обозначим стороны прямоугольника как a и b (целые, ≥ 3).
Для каждого элемента сетки количество соседей равно его степени в графе сетки. Сумма степеней по всем клеткам равна числу рёбер умноженному на 2: S = 2E, где E — число соседних пар клеток.
В прямоугольнике размером a × b число соседних пар равно: E = a(b−1) + b(a−1) = 2ab − a − b. Значит S = 2E = 4ab − 2a − 2b.
По условию S = 246, поэтому: 4ab − 2a − 2b = 246. Разделим на 2: 2ab − a − b = 123.
Заметим, что (2a − 1)(2b − 1) = 4ab − 2a − 2b + 1 = 123 × 2 + 1 = 247.
Значит надо разложить 247 на пары неотрицательных нечётных множителей: 247 = 1 · 247 = 13 · 19 = 19 · 13 = 247 · 1.
Поскольку 2a−1 ≥ 5 и 2b−1 ≥ 5 (a,b ≥ 3), допустимы только пары (13,19) и (19,13).
Откуда:
- 2a − 1 = 13 и 2b − 1 = 19 → a = 7, b = 10;
- или наоборот → a = 10, b = 7.
Оба варианта эквивалентны задаче, т.е. размеры прямоугольника 7 × 10.
Периметр прямоугольника P равен: P = 2(a + b) = 2(7 + 10) = 34.
Ответ: периметр прямоугольника равен 34.
