Прямоугольник, длины обеих сторон которого принимают целочисленные значения, не меньшие 3, составлен из квадратов 1 × 1 (далее будем называть эти квадраты клетками). Для каждой…
Прямоугольник, длины обеих сторон которого принимают целочисленные значения, не меньшие 3, составлен из квадратов 1 × 1 (далее будем называть эти квадраты клетками). Для каждой клетки посчитали количество её соседей (соседними называются две клетки, имеющие общую сторону). Все посчитанные числа сложили и получили сумму 220. Найдите периметр прямоугольника.
Задача решается для прямоугольника со сторонами a и b (a, b целые, ≥ 3).
Сумма чисел соседей по всем клеткам эквивалентна сумме степеней вершин графа, соответствующего разбиению на клетки.
Число соседей всех клеток равно удвоенному количеству ребер между соседними клетками.Количество горизонтальных соседей: a строк по (b−1) ребер = a(b−1).
Количество вертикальных соседей: b столбцов по (a−1) ребер = b(a−1).
Всего ребер E = a(b−1) + b(a−1) = 2ab − a − b.
Сумма соседей S = 2E = 2(2ab − a − b) = 4ab − 2a − 2b.
По условию S = 220, значит 4ab − 2a − 2b = 220. Упростим: 2ab − a − b = 110.
Приведём к удобной факторизации. Умножим обе стороны на 2 и добавим 1: 4ab − 2a − 2b + 1 = 221 (2a − 1)(2b − 1) = 221.
221 = 13 · 17, поэтому возможны пары (2a−1, 2b−1) = (13, 17) или (17, 13) (поскольку a, b ≥ 3, остальные пары дают слишком малые значения).
- Если 2a−1 = 13, то a = 7; 2b−1 = 17, b = 9.
- Или наоборот: a = 9, b = 7.
Оба варианта удовлетворяют условию a, b ≥ 3 и соответствуют задаче (это одно и то же по вопросу периметра).
- Периметр прямоугольника: P = 2(a + b) = 2(7 + 9) = 32.
Ответ: периметр равен 32.
