Прямоугольник, длины обеих сторон которого принимают целочисленные значения, не меньшие 3, составлен из квадратов 1 × 1 (далее будем называть эти квадраты клетками). Для каждой клетки посчитали количество её соседей (соседними называются две клетки, имеющие общую сторону). Все посчитанные числа сложили и получили сумму 220. Найдите периметр прямоугольника.

Задача решается для прямоугольника со сторонами a и b (a, b целые, ≥ 3). 1) Сумма чисел соседей по всем клеткам эквивалентна сумме степеней вершин графа, соответствующего разбиению на клетки. Число соседей всех клеток равно удвоенному количеству ребер между соседними клетками. 2) Количество горизонтальных соседей: a строк по (b−1) ребер = a(b−1). Количество вертикальных соседей: b столбцов по (a−1) ребер = b(a−1). Всего ребер E = a(b−1) + b(a−1) = 2ab − a − b. Сумма соседей S = 2E = 2(2ab − a − b) = 4ab − 2a − 2b. По условию S = 220, значит 4ab − 2a − 2b = 220. Упростим: 2ab − a − b = 110. 3) Приведём к удобной факторизации. Умножим обе стороны на 2 и добавим 1: 4ab − 2a − 2b + 1 = 221 (2a − 1)(2b − 1) = 221. 4) 221 = 13 · 17, поэтому возможны пары (2a−1, 2b−1) = (13, 17) или (17, 13) (поскольку a, b ≥ 3, остальные пары дают слишком малые значения). - Если 2a−1 = 13, то a = 7; 2b−1 = 17, b = 9. - Или наоборот: a = 9, b = 7. Оба варианта удовлетворяют условию a, b ≥ 3 и соответствуют задаче (это одно и то же по вопросу периметра). 5) Периметр прямоугольника: P = 2(a + b) = 2(7 + 9) = 32. Ответ: периметр равен 32.