Прямоугольник, длины обеих сторон которого принимают целочисленные значения, не меньшие 3, составлен из квадратов 1×1 (далее будем называть эти квадраты клетками). Для каждой…
Прямоугольник, длины обеих сторон которого принимают целочисленные значения, не меньшие 3, составлен из квадратов 1×1 (далее будем называть эти квадраты клетками). Для каждой клетки посчитали количество её соседей (соседними называются две клетки, имеющие общую сторону). Все посчитанные числа сложили и получили сумму 322. Найдите периметр прямоугольника.
Дано прямоугольник, состоящий из m × n клеток (клетки размером 1×1), м и n целые, не меньше 3.
- Число соседей у клетки
- внутри прямоугольника: 4 соседей
- на стороне, но не в углу: 3 соседа
- в углу: 2 соседа
- Считаем сумму по всем клеткам
- внутренние клетки: (m-2)(n-2) клеток, вклад = 4(m-2)(n-2)
- крайние, не угловые: всего границы клеток = 2m+2n-4, из них углы = 4, значит крайних без углов = (2m+2n-4) - 4 = 2m+2n-8, вклад = 3(2m+2n-8)
- углы: 4 клетки, вклад = 2·4 = 8
Всe вместе сумма S равна: S = 4(m-2)(n-2) + 3(2m+2n-8) + 8
Упростим: S = 4mn - 2m - 2n
Дано S = 322, значит 4mn - 2m - 2n = 322
Разделим на 2: 2mn - m - n = 161
Заметим, что (2m-1)(2n-1) = 4mn - 2m - 2n + 1 = 2(2mn - m - n) + 1 = 2·161 + 1 = 323
323 распадается на простые множители: 323 = 17 · 19. Поэтому 2m-1 и 2n-1 равны 17 и 19 в каком-либо порядке.
Варианты:
- 2m-1 = 17 → m = 9; 2n-1 = 19 → n = 10
- или наоборот: m = 10, n = 9
Периметр прямоугольника P = 2(m + n) = 2(9 + 10) = 38.
Ответ: периметр прямоугольника равен 38.
