Задание 5. В равнобедренном треугольнике один угол в два раза больше другого. Чему может быть равен угол между биссектрисами треугольника, исходящими из вершин углов при…

Задача: в равнобедренном треугольнике один угол вдвое больше другого. Каков может быть угол между биссектрисами углов при основании? Выберите все подходящие варианты: 18, 36, 45, 54, 60, 72, 90.

Пояснение и решение

1. Обозначим вершины треугольника так: вершина A — вершина апекса (против основания BC), углы B и C — углы при основании. Так как треугольник равнобедрен, B = C.

2. Условие задачи: один угол вдвое другого. Возможны два случая:

• Случай 1: A = 2B. Тогда A + 2B = 180° и A = 2B дают 2B + 2B = 180°, значит B = 45°, A = 90°.
• Случай 2: B = 2A. Тогда A + 2B = 180° и B = 2A дают A + 4A = 180°, значит A = 36°, B = 72°.

3. Угол между биссектрисами из оснований B и C. В любом треугольнике угол между биссектрисами из двух вершин B и C равен углу BIC в трианге I — точке пересечения биссектрис, и известен формулой: угол BIC = 90° + A/2. Уточним, что искомый «угол между биссектрисами» обычно берут как меньшую величину между двумя образующими их линиями, то есть аккуратный угол между ними = min(угол BIC, 180° − угол BIC) = 90° − A/2.

4. Применяем к двух случаях:

• Случай 1: A = 90°. Аккуратный угол = 90° − 90°/2 = 90° − 45° = 45°.
• Случай 2: A = 36°. Аккуратный угол = 90° − 36°/2 = 90° − 18° = 72°.

Ответ: подходящие варианты — 45° и 72°.