На основании АС треугольника ABC выбрана точка N. Оказалось, что угол BNC в два раза больше угла ВАС, а угол BNA в два раза больше угла ВСА. Найдите длину отрезка BN, если АВ = 8,…

Решение.

Обозначим углы треугольника ABC: ∠A = α, ∠C = γ. Так как N лежит на AC, то AN и CN лежат на одной прямой и противоположны друг другу, следовательно ∠BNA + ∠BNC = 180°. По условию заданы ∠BNC = 2∠A = 2α и ∠BNA = 2∠C = 2γ. Отсюда 2α + 2γ = 180° → α + γ = 90°. Значит ∠B = 180° − (α + γ) = 90°, то треугольник ABC прямоугольный в B. Длины данных: AB = 8, BC = 12.

1. В треугольнике BNA углы:

• ∠BAN = ∠A = α;
• ∠BNA = 2γ = 180° − 2α;
• следовательно ∠ABN = 180° − α − (180° − 2α) = α.
• равенство противоположных сторон: BN = AN.

С помощью закона синусов в треугольнике BNA получаем: BN / sin α = AB / sin(∠BNA) = AB / sin(2γ) = AB / sin(2α). Отсюда BN = AB · sin α / sin(2α) = AB / (2 cos α). (1)

2. В треугольнике BNC:

• ∠BNC = 2α;
• ∠BCN = ∠BCA = γ;
• ∠NBC = 180° − 2α − γ = 90° − α.

Закон синусов даёт: BN / sin γ = BC / sin(2α). Так как γ = 90° − α, sin γ = cos α, получаем BN = BC · cos α / sin(2α) = BC / (2 sin α). (2)

Получаем две выражения для BN: BN = AB / (2 cos α) и BN = BC / (2 sin α).

Следовательно AB / cos α = BC / sin α → AB·sin α = BC·cos α → tan α = BC / AB = 12 / 8 = 3/2.

Из tan α = 3/2 имеем sin α = 3/√13 и cos α = 2/√13.

Подставляем в (1): BN = AB / (2 cos α) = 8 / (2 · (2/√13)) = 8 · √13 / 4 = 2√13.

Или в (2): BN = BC / (2 sin α) = 12 / (2 · (3/√13)) = 12 · √13 / 6 = 2√13, то совпадает.

Итак, BN = 2√13, поэтому BN^2 = (2√13)^2 = 4·13 = 52.

Ответ: 52.