Решение.
Обозначим углы треугольника ABC: ∠A = α, ∠C = γ. Так как N лежит на AC, то AN и CN лежат на одной прямой и противоположны друг другу, следовательно ∠BNA + ∠BNC = 180°. По условию заданы
∠BNC = 2∠A = 2α и ∠BNA = 2∠C = 2γ.
Отсюда 2α + 2γ = 180° → α + γ = 90°. Значит ∠B = 180° − (α + γ) = 90°, то треугольник ABC прямоугольный в B. Длины данных: AB = 8, BC = 12.
- В треугольнике BNA углы:
- ∠BAN = ∠A = α;
- ∠BNA = 2γ = 180° − 2α;
- следовательно ∠ABN = 180° − α − (180° − 2α) = α.
- равенство противоположных сторон: BN = AN.
С помощью закона синусов в треугольнике BNA получаем:
BN / sin α = AB / sin(∠BNA) = AB / sin(2γ) = AB / sin(2α).
Отсюда BN = AB · sin α / sin(2α) = AB / (2 cos α). (1)
- В треугольнике BNC:
- ∠BNC = 2α;
- ∠BCN = ∠BCA = γ;
- ∠NBC = 180° − 2α − γ = 90° − α.
Закон синусов даёт:
BN / sin γ = BC / sin(2α).
Так как γ = 90° − α, sin γ = cos α, получаем BN = BC · cos α / sin(2α) = BC / (2 sin α). (2)
Получаем две выражения для BN:
BN = AB / (2 cos α) и BN = BC / (2 sin α).
Следовательно AB / cos α = BC / sin α → AB·sin α = BC·cos α → tan α = BC / AB = 12 / 8 = 3/2.
Из tan α = 3/2 имеем sin α = 3/√13 и cos α = 2/√13.
Подставляем в (1): BN = AB / (2 cos α) = 8 / (2 · (2/√13)) = 8 · √13 / 4 = 2√13.
Или в (2): BN = BC / (2 sin α) = 12 / (2 · (3/√13)) = 12 · √13 / 6 = 2√13, то совпадает.
Итак, BN = 2√13, поэтому BN^2 = (2√13)^2 = 4·13 = 52.
Ответ: 52.
