Уравнение (x^2 — ax + b)(x^2 — (a + 24)x + b) = 0 имеет 4 корня, являющиеся последовательными степенями двойки (например, 2^7, 2^8, 2^9, 2^10). На какую наибольшую степень двойки…

Решение по шагам

1. Пусть четыре корня образуют последовательные степени двойки: 2^t, 2^{t+1}, 2^{t+2}, 2^{t+3} (порядок корней в каждом квадратном факторе не обязателен).

2. Пусть первый квадратник имеет корни α, β, второй — γ, δ. Тогда:

• α + β = a, αβ = b
• γ + δ = a + 24, γδ = b

Так как оба квадратных сомножителя имеют одинаковый константный член b, пары корней должны образовывать одинаковый произведение: αβ = γδ = b.

3. Среди всех разбиений четырех чисел 2^t, 2^{t+1}, 2^{t+2}, 2^{t+3} равные произведения возможны только для пар {2^t, 2^{t+3}} и {2^{t+1}, 2^{t+2}} (потому что:

• 2^t·2^{t+3} = 2^{2t+3},
• 2^{t+1}·2^{t+2} = 2^{2t+3}, и другие разбиения дают разные значения произведений).

Отсюда b = 2^{2t+3}. Суммы соответствующих пар:

• S1 = 2^t + 2^{t+3} = 9·2^t
• S2 = 2^{t+1} + 2^{t+2} = 6·2^t

4. По условию разности сумм ровно 24: |S1 − S2| = 24. Но |9·2^t − 6·2^t| = 3·2^t, значит 3·2^t = 24 → 2^t = 8 → t = 3.

5. Следовательно четыре корня: 2^3, 2^4, 2^5, 2^6. Их суммы:

• S1 = 9·2^3 = 72
• S2 = 6·2^3 = 48

Чтобы a и a+24 соответствовали этим суммам, берём a = 48, a+24 = 72. Тогда:

• первый квадратник имеет корни, чья сумма равна a = 48 → это пара {2^4, 2^5} = {16, 32}
• второй квадратник имеет корни, чья сумма равна a+24 = 72 → это пара {2^3, 2^6} = {8, 64} И их произведения равны b = 2^{2t+3} = 2^9 = 512. Так что ab = 48 · 512.

6. Найдём наибольшую степень двойки, делящую ab:

• v2(a) = v2(48) = 4
• v2(b) = v2(512) = 9
• v2(ab) = v2(a) + v2(b) = 4 + 9 = 13

Следовательно, наибольшая степень двойки, делящая ab, равна 2^{13}.

Ответ: 2^{13} (то есть абсолютно, аб = 24576, где максимальная степень двойки делит аб как 2^{13}).