Дан треугольник KMN, угол K = 30°, угол M = 45°, сторона KM = 4√6. Найти стороны MN и KN.

Дано треугольник KMN:

• ∠K = 30°, ∠M = 45°
• KM = 4√6 (сторона между K и M)

1. Найдём угол N: ∠N = 180° − (∠K + ∠M) = 180° − (30° + 45°) = 105°.

2. Применим Закон синусов: MN / sin(∠K) = KN / sin(∠M) = KM / sin(∠N).

Отсюда:

• MN = KM · sin(∠K) / sin(∠N) = (4√6) · sin30° / sin105°
• KN = KM · sin(∠M) / sin(∠N) = (4√6) · sin45° / sin105°

3. Подставим значения синусов:

• sin30° = 1/2
• sin45° = √2/2
• sin105° = sin(75°) = (√6 + √2)/4

Вычисления:

• MN = (4√6) · (1/2) / [(√6 + √2)/4] = (2√6) / [(√6 + √2)/4] = 8√6 / (√6 + √2) Приведём к рациональному знаменателю: MN = 8√6(√6 − √2) / [(√6 + √2)(√6 − √2)] = 8√6(√6 − √2) / 4 = 2√6(√6 − √2) = 12 − 4√3.

• KN = (4√6) · (√2/2) / [(√6 + √2)/4] = (4√3) / sin105 = 4√3 · 4 / (√6 + √2) = 16√3 / (√6 + √2) Приведём к рациональному знаменателю: KN = 16√3(√6 − √2) / 4 = 4√3(√6 − √2) = 12√2 − 4√6.

Итого:

• MN = 12 − 4√3 = 4(3 − √3)
• KN = 12√2 − 4√6 = 4√2(3 − √3)

Замечание: действительно KN = √2 · MN (поскольку sin45°/sin30° = √2), что согласуется с полученными выражениями. Приближённо:

• MN ≈ 5.07
• KN ≈ 7.18