В равнобедренной трапеции MNKD проведена высота NH. Длина меньшего основания NK равна 22 см, боковые стороны равны 16 см, ∠ NMH = 60°. Найдите среднюю линию трапеции.

Решение (пошагово):

1. Обозначим трапецию так: основания MNKD параллельны, меньшая база NK имеет длину 22 см. Пусть MD — большая база. Введём координаты: M = (0,0), D = (L,0) где L = длина основания MD. Верхняя база NK находится на высоте h над MD. Пусть N = (a,h), K = (a+22,h).

2. Длина боковой стороны MN = 16:

• MN^2 = a^2 + h^2 = 256. (1)

3. Угол ∠NMH = 60°. Величина угла между MN и горизонталью ( MH идёт по основанию MD) равна 60°, значит отношение высоты к горизонтальному смещению равно tan 60°:

• h / a = √3 → h = a√3. (2)

4. Подстановка (2) в (1):

• a^2 + (a√3)^2 = a^2 + 3a^2 = 4a^2 = 256 → a^2 = 64 → a = 8 ( положительное, т.к. N над MN справа).
• Тогда h = a√3 = 8√3.

5. Длина KD = 16:

• KD^2 = (L − (a+22))^2 + h^2 = 256.
• Подставляем a = 8 и h = 8√3: (L − 30)^2 + (8√3)^2 = 256 → (L − 30)^2 + 192 = 256 → (L − 30)^2 = 64.
• Отсюда L − 30 = ±8, то есть L = 38 или L = 22.

6. NK — меньшая база, значит MD должен быть длиннее NK. Поэтому выбираем L = 38 ( MD = 38 см).

7. Средняя линия трапеции равна полусумме длин оснований:

• m = (NK + MD) / 2 = (22 + 38) / 2 = 60 / 2 = 30 см.

Ответ: средняя линия трапеции равна 30 см.