х²-4х+7=0

Цель: Понять решение уравнения и увидеть разные способы получить корни.

Уравнение: x^2 - 4x + 7 = 0

1. Дискриминант (через стандартную формулу ax^2 + bx + c = 0)

• a = 1, b = -4, c = 7
• Δ = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4·1·7 = 16 - 28 = -12
• Так как Δ < 0, действительных корней нет. Есть два комплексных корня.

2. Корни через квадратичную формулу

• x = [-b ± sqrt(Δ)] / (2a)
• Подставляем: x = [4 ± sqrt(-12)] / 2 = [4 ± i·sqrt(12)] / 2
• sqrt(12) = 2√3, поэтому x = [4 ± i·2√3] / 2 = 2 ± i√3
• Итого: корни x = 2 + i√3 и x = 2 - i√3

3. Альтернативный способ: дополнение до квадрата

• x^2 - 4x + 7 = 0
• Приведём к форме (x - 2)^2 + 3 = 0
• (x - 2)^2 = -3
• x - 2 = ± i√3
• x = 2 ± i√3

4. Что это значит

• Реальных корней нет, график функции y = x^2 - 4x + 7 никогда не пересекает ось Ox.
• Минимум функции: вершина в x = -b/(2a) = 2, значение f(2) = 2^2 - 4·2 + 7 = 3 (> 0).

Ответ

• Два комплексных корня: x = 2 ± i√3
• Реальных корней нет.