Разбор задачи для школьной подготовки (9 класс, математика). Цель: понять свойства функций и построить графики. Задача: построить график и исследовать свойства функций f: R→R для в) f(x) = 3(x + 2)² г) f(x) = -2(x − 1)² 1) Общий подход к каждой функции - Приведём функцию к канонической форме y = a(x − h)² + k, чтобы увидеть вершину параболы. - Определим: - вершину V = (h, k) - ось симметрии: x = h - направление ветвей: вверх, если a > 0; вниз, если a < 0 - область определения и множество значений (домен и диапазон) - переборы значений на примерах точек (интерцепты и пара точек) для чертежа - Поставим пару точек, чтобы увидеть примерную форму графика. 2) Функция 1: f(x) = 3(x + 2)² - Каноническая форма уже близка: y = a(x − h)² + k с a = 3, h = −2, k = 0 - Вершина: V = (−2, 0) - Основание (ось симметрии): x = −2 - Направление ветвей: вверх (поскольку a > 0) - «Класс ширины»: коэффициент по модулю |a| = 3 > 1, парабола относительно узкая по сравнению с y = x² - Домен: все действительные числа R - Диапазон: y ≥ 0 - Пересечения: - x-пересечение (корни): 3(x + 2)² = 0 → x = −2 (единственная точка, кратности 2) - y-пересечение: f(0) = 3(0 + 2)² = 3·4 = 12 → точка (0, 12) - Примеры точек: - x = −3 → f(−3) = 3(−1)² = 3 - x = −1 → f(−1) = 3(1)² = 3 - x = 0 → f(0) = 12 - Краткое резюме графика: - У-образная парабола, вершина в (-2, 0), ось симметрии x = −2, открывается вверх, y ≥ 0. - Примеры: (-3, 3), (-1, 3), (0, 12). 3) Функция 2: f(x) = −2(x − 1)² - Каноническая форма: y = a(x − h)² + k с a = −2, h = 1, k = 0 - Вершина: V = (1, 0) - Ось симметрии: x = 1 - Направление ветвей: вниз (поскольку a < 0) - «Класс ширины»: коэффициент по модулю |a| = 2, парабола узкая, но не супер-узкая - Домен: все Real - Диапазон: y ≤ 0 - Пересечения: - x-пересечение: −2(x − 1)² = 0 → x = 1 (единственная точка, кратности 2) - y-пересечение: f(0) = −2(−1)² = −2 → точка (0, −2) - Примеры точек: - x = 0 → f(0) = −2 - x = 2 → f(2) = −2 - x = 3 → f(3) = −8 - Кратко о графике: - У-образная парабола, вершина в (1, 0), ось симметрии x = 1, открывается вниз, y ≤ 0. - Примеры: (0, −2), (2, −2), (3, −8). 4) График Чтобы увидеть графики наглядно, можно построить их в ручном чертеже или воспользоваться графическим инструментом. Ниже предлагаются два варианта. Вариант A — быстрый график с помощью Python (matplotlib) Этот код строит обе параболы на одном графике и помечает ключевые точки. - Требуется Python и matplotlib. - Код: import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt x = np.linspace(-6, 4, 400) f1 = 3*(x + 2)**2 f2 = -2*(x - 1)**2 plt.figure(figsize=(8, 4)) plt.plot(x, f1, label='f(x) = 3(x+2)²') plt.plot(x, f2, label='f(x) = -2(x-1)²') # оси и сетка plt.axhline(0, color='black', linewidth=0.5) plt.axvline(-2, color='gray', linestyle='--', linewidth=0.5) # ось симметрии f1 plt.axvline(1, color='gray', linestyle='--', linewidth=0.5) # ось симметрии f2 plt.scatter([-2, 1], [0, 0], color='red') # вершины на осях plt.legend() plt.grid(True) plt.xlabel('x') plt.ylabel('f(x)') plt.title('Графики функций f(x) = 3(x+2)² и f(x) = -2(x-1)²') plt.show() Вариант B — простой текстовый “скетч” (для быстрого понимания без графического инструмента) - f(x) = 3(x+2)²: вершина в (-2, 0), ось симметрии x = -2, парабола вверх, проходят через (-3, 3) и (-1, 3), y-интерцепт 12. - f(x) = -2(x-1)²: вершина в (1, 0), ось симметрии x = 1, парабола вниз, через (0, −2) и (2, −2), y-интерцепт −2. 5) Резюме по заданию - Обе функции — квадратичные параболы, каноническая форма y = a(x − h)² + k: - в) f(x) = 3(x+2)² — вершина (-2, 0), ось симметрии x = -2, ветви вверх, диапазон y ≥ 0, x-пересечение единственное x = -2; - г) f(x) = -2(x−1)² — вершина (1, 0), ось симметрии x = 1, ветви вниз, диапазон y ≤ 0, x-пересечение единственное x = 1. - Графики можно построить вручную по указанным точкам и свойствам или посмотреть/сгенерировать с помощью приведённого кода. Если хотите, могу: - сделать более детальное пошаговое чертёжное построение (с ASCII-рисунком на нужном диапазоне), - прислать готовые изображения графиков в файлах (PNG) после генерации, - или помочь запустить код на вашем компьютере и получить графики.