Вариант 3 1. Разложите на простые множители число 462. 2. Найдите a) наибольший общий делитель чисел 27 и 45; б) наименьшее общее кратное чисел 15 и 18. 3. Какую цифру можно записать вместо звёздочки в числе 763*, чтобы оно: a) делилось на б; б) делилось на 3; b) было кратно 10? 4. Выполните действия: a) 8 4,53 + 0,355; б) 1,029 : 0,098 - 0,28 • 24 5. Найдите произведение чисел с и d, если их наибольший общий делитель равен 70, а наименьшее общее кратное равно 560.

Ниже подробное решение по Variant 3. Поскольку цель — “Понять”, даны пошаговые объяснения. Поскольку параметры предмета и класса не указаны, использую общий подход средней школы. 1) Разложение 462 на простые множители - 462 = 2 × 231 - 231 = 3 × 77 - 77 = 7 × 11 Итого: 462 = 2 × 3 × 7 × 11. 2) Найдите gcd и lcm a) наибольший общий делитель чисел 27 и 45 - 27 = 3^3 - 45 = 3^2 × 5 - Общее простое 3, максимум степени — 3^2 - gcd(27, 45) = 9 б) наименьшее общее кратное чисел 15 и 18 - 15 = 3 × 5 - 18 = 2 × 3^2 - В lcm берём все простые с максимальными степенями: 2 × 3^2 × 5 = 2 × 9 × 5 = 90 Справедливо также через relation gcd × lcm = a × b: gcd(15,18) = 3 → lcm = (15 × 18)/3 = 270/3 = 90. 3) Число 763*: какая цифра идёт вместо звёздочки a) чтобы делилось на 8 - Для делимости на 8 смотрим последние три цифры числа: 63* (число 63состоящие из 6, 3 и звёздочка). - Проверяем 630–639: из них 632 делится на 8 (632 ÷ 8 = 79). - Значит звёздочка = 2. б) чтобы делилось на 3 - Сумма цифр: 7 + 6 + 3 + * = 16 + *. - Чтобы сумма была кратна 3, выбранная цифра должна удовлетворять (16 + *) ≡ 0 (мод 3). 16 ≡ 1 (мод 3), значит * ≡ 2 (мод 3). - Подходящие цифры: 2, 5, 8. Так что возможны три варианта: 7623? Нет, значит цифры 2, 5, или 8. в) чтобы было кратно 10 - Чтобы число было кратно 10, последняя цифра должна быть 0. - Значит звёздочка = 0. 4) Выполните действия a) 84,53 + 0,355 - 84,53 = 84.53, затем суммируем: 84.53 + 0.355 = 84.885. - Ответ: 84,885 (в той же системе записи — через запятую). б) 1,029 : 0,098 - 0,28 × 24 - 1,029 ÷ 0,098 = 1029/98 = 10.5 - 0,28 × 24 = 6,72 - Разность: 10.5 − 6.72 = 3.78 - Ответ: 3,78 5) Найдите произведение чисел c и d, если gcd(c,d) = 70, lcm(c,d) = 560 - Свидерная формула: c × d = gcd(c,d) × lcm(c,d) - Подставляем: c × d = 70 × 560 = 39200 - Ответ: 39200 Дополнительное пояснение по пункту 5 (можно как заметку): можно разложить c = 70a, d = 70b, где a и b — взаимно простые и a × b = lcm/gcd = 560/70 = 8. Из взаимной простоты a × b = 8 даёт варианты (a,b) = (1,8) или (8,1) (то есть c,d пропорционально 70 и 560), что согласуется с произведением 39200. Но главное требование задачи — именно произведение, которое равно 39200.