Вариант 3 1. Разложите на простые множители число 462. 2. Найдите a) наибольший общий делитель чисел 27 и 45; б) наименьшее общее кратное чисел 15 и 18. 3. Какую цифру можно…
Вариант 3 1. Разложите на простые множители число 462. 2. Найдите a) наибольший общий делитель чисел 27 и 45; б) наименьшее общее кратное чисел 15 и 18. 3. Какую цифру можно записать вместо звёздочки в числе 763*, чтобы оно: a) делилось на б; б) делилось на 3; b) было кратно 10? 4. Выполните действия: a) 8 4,53 + 0,355; б) 1,029 : 0,098 - 0,28 • 24 5. Найдите произведение чисел с и d, если их наибольший общий делитель равен 70, а наименьшее общее кратное равно 560.
Ниже подробное решение по Variant 3. Поскольку цель — “Понять”, даны пошаговые объяснения. Поскольку параметры предмета и класса не указаны, использую общий подход средней школы.
- Разложение 462 на простые множители
- 462 = 2 × 231
- 231 = 3 × 77
- 77 = 7 × 11 Итого: 462 = 2 × 3 × 7 × 11.
- Найдите gcd и lcm a) наибольший общий делитель чисел 27 и 45
- 27 = 3^3
- 45 = 3^2 × 5
- Общее простое 3, максимум степени — 3^2
- gcd(27, 45) = 9
б) наименьшее общее кратное чисел 15 и 18
- 15 = 3 × 5
- 18 = 2 × 3^2
- В lcm берём все простые с максимальными степенями: 2 × 3^2 × 5 = 2 × 9 × 5 = 90 Справедливо также через relation gcd × lcm = a × b: gcd(15,18) = 3 → lcm = (15 × 18)/3 = 270/3 = 90.
- Число 763*: какая цифра идёт вместо звёздочки a) чтобы делилось на 8
- Для делимости на 8 смотрим последние три цифры числа: 63* (число 63состоящие из 6, 3 и звёздочка).
- Проверяем 630–639: из них 632 делится на 8 (632 ÷ 8 = 79).
- Значит звёздочка = 2.
б) чтобы делилось на 3
- Сумма цифр: 7 + 6 + 3 + * = 16 + *.
- Чтобы сумма была кратна 3, выбранная цифра должна удовлетворять (16 + *) ≡ 0 (мод 3). 16 ≡ 1 (мод 3), значит * ≡ 2 (мод 3).
- Подходящие цифры: 2, 5, 8. Так что возможны три варианта: 7623? Нет, значит цифры 2, 5, или 8.
в) чтобы было кратно 10
- Чтобы число было кратно 10, последняя цифра должна быть 0.
- Значит звёздочка = 0.
- Выполните действия a) 84,53 + 0,355
- 84,53 = 84.53, затем суммируем: 84.53 + 0.355 = 84.885.
- Ответ: 84,885 (в той же системе записи — через запятую).
б) 1,029 : 0,098 - 0,28 × 24
- 1,029 ÷ 0,098 = 1029/98 = 10.5
- 0,28 × 24 = 6,72
- Разность: 10.5 − 6.72 = 3.78
- Ответ: 3,78
- Найдите произведение чисел c и d, если gcd(c,d) = 70, lcm(c,d) = 560
- Свидерная формула: c × d = gcd(c,d) × lcm(c,d)
- Подставляем: c × d = 70 × 560 = 39200
- Ответ: 39200
Дополнительное пояснение по пункту 5 (можно как заметку): можно разложить c = 70a, d = 70b, где a и b — взаимно простые и a × b = lcm/gcd = 560/70 = 8. Из взаимной простоты a × b = 8 даёт варианты (a,b) = (1,8) или (8,1) (то есть c,d пропорционально 70 и 560), что согласуется с произведением 39200. Но главное требование задачи — именно произведение, которое равно 39200.
