х²+ корень из х²+2х+8 =12-2х

Задача: x^2 + sqrt(x^2 + 2x + 8) = 12 - 2x.

Пошаговое решение.

1. Обозначим sqrt-часть и запишем условия

• Пусть S = sqrt(x^2 + 2x + 8). Тогда S ≥ 0 и x^2 + S = 12 - 2x ⇒ S = 12 - 2x - x^2.
• Так как S ≥ 0, обязательно 12 - 2x - x^2 ≥ 0.

2. Уберём радикал путем возведения в квадрат S^2 = x^2 + 2x + 8 и S = 12 - 2x - x^2. Следовательно: (x^2 + 2x + 8) = (12 - 2x - x^2)^2.

3. Заметим упрощение через новую переменную Пусть u = x^2 + 2x. Тогда уравнение становится (12 - u)^2 = u + 8. Раскрывая скобки: u^2 - 24u + 144 = u + 8 → u^2 - 25u + 136 = 0. Решаем квадратичное уравнение: D = 25^2 - 4·1·136 = 625 - 544 = 81, sqrt(D) = 9. Условиu: u = (25 ± 9)/2 → u = 17 или u = 8.

4. Проверим каждое значение u

• Если u = 17: тогда S = 12 - u = -5, что противоречит S ≥ 0. Значит этот вариант исключаем.
• Если u = 8: тогда S = 12 - u = 4, что допускается. Нужно решить x^2 + 2x = 8 → x^2 + 2x - 8 = 0 → x = 2 или x = -4.

5. Проверка в оригинальном уравнении

• Для x = 2: LHS = 4 + sqrt(4 + 4 + 8) = 4 + 4 = 8; RHS = 12 - 4 = 8. Подходит.
• Для x = -4: LHS = 16 + sqrt(16 - 8 + 8) = 16 + 4 = 20; RHS = 12 - (-8) = 20. Подходит.

Ответ: x = 2 или x = -4.